由于平面体的表面都是由平面组成的，所以平面体的截交线一般是平面多边形。此多边形的各顶点是平面体棱线与截平面的交点，各条边线是平面体棱面与截平面的交线。例6—3如图6—6a所示，求正垂面P与三棱锥S—ABC的截交线。解截平面P与三棱锥的三条棱线SA，SB，SC均相交，故截交线为△ⅠⅡⅢ，作图步骤如图6—6b所示。截平面与顶面的交线为正垂线MN，可直接作出mn，于是截交线的H投影abmnd亦确定。......
2023-09-24
曲面体截交线-画法几何与土木工程制图
【摘要】：曲面体的截交线一般情况下是平面曲线。当截平面与直纹曲面交于直素线，或与曲面体的平面部分相交时，截交线可为直线。因此求曲面体的截交线，实际上是作出曲面上的一系列的共有点，然后顺次连接成光滑的曲线。曲面体的投影轮廓线与截平面的交点，是截交线虚实线的分界点。3）球的截交线图6—12正平面与球相交无论截平面处于何种位置，它与球的截交线总是圆。例6—10求作铅垂面P与回转体的截交线。
曲面体的截交线一般情况下是平面曲线。当截平面与直纹曲面交于直素线，或与曲面体的平面部分相交时，截交线可为直线。
截交线是截平面与曲面体的共有线，截交线上的点也都是它们的共有点。因此求曲面体的截交线，实际上是作出曲面上的一系列的共有点，然后顺次连接成光滑的曲线。为了能准确地作出截交线，首先需要求出控制截交线形状与范围的一些特殊点，如曲线的对称顶点，与投影轮廓线的切点，以及最高、最低、最左、最右、最前、最后点等，然后根据需要再作一些中间点，最后连成截交线。
曲面体截交线的投影可见性与平面体类似，当截交线位于曲面体表面的可见部分时，这段截交线的投影是可见的，否则是不可见的。
曲面体的投影轮廓线与截平面的交点，是截交线虚实线的分界点。但若曲面体被截断后，截交线成了投影轮廓线，则该段截交线是可见的。
1）圆柱的截交线
根据截平面与圆柱的相对位置不同，截交线的形状有三种情况，如表6—1所示。
表6—1 圆柱的截交线
当截平面垂直于圆柱的轴线时，截交线为圆；当截平面倾斜于圆柱的轴线时，截交线为椭圆，此椭圆的短轴等于圆柱的直径，长轴随着截平面与轴线的角度变化而变化；当截平面平行于圆柱的轴线时，截交线一般为两条平行的直线。
例6—6 如图6—9a所示，求作侧垂面P与圆柱的截交线。
解 分析：
图6—9 作圆柱的截交线（椭圆）
侧垂面P与圆柱的截交线为椭圆。该椭圆的W投影积聚在PW上，其H投影与圆周重合，需要作的是其V投影。椭圆的投影一般仍为椭圆，但长短轴的长度有变化。
作图步骤如图6—9b，c所示：
（1）先作椭圆上的特殊点，即长短轴的端点。长轴AB∥W，a″和b″在W投影轮廓线上，由a″和b″作投影连线与V投影轴线相交得a′和b′；短轴CD⊥W，c″和d″在W投影轴线上，由c″和d″作投影连线与V投影轮廓线交得c′和d′。
（2）作若干中间点，如E，F，M，N等。利用圆柱面上取点的方法，由e″，f″，m″，n″作出e，f，m，n，再求出e′，f′，m′，n′。
（3）将这些点光滑地连接起来，画出V投影的椭圆。在前半圆柱面上的椭圆弧是可见的，故将c′e′b′f′d′画为实线；在后半圆柱面上的椭圆弧是不可见的，故将c′m′a′n′d′画为虚线。
2）圆锥的截交线
根据截平面与圆锥的相对位置不同，截交线的形状有五种情况，如表6—2所示。
表6—2 圆锥的截交线
当截平面垂直于圆锥的轴线（即θ＝90°）时，截交线为圆；当截平面倾斜于圆锥的轴线且与所有的素线均相交（即θ＞α）时，截交线为椭圆；当截平面只平行于圆锥面上的一条素线（即θ＝α）时，截交线为抛物线；当截平面平行于圆锥面上的两条素线（即0°≤θ＜α）时，截交线为双曲线；当截平面通过圆锥的顶点时，截交线为直线，一般为两条相交直线。
例6—7 如图6—10a所示，求作圆锥被正垂面P截断后的投影和截断面的实形。
图6—10 作圆锥的截交线（椭圆）
解 分析：
截平面P与圆锥轴线倾斜，并与所有的素线均相交，故截交线为椭圆。椭圆的V投影积聚在PV上，由于椭圆与H面和W面都倾斜，其投影一般仍为椭圆，但不反映实形。
作图步骤如图6—10b，c所示：
（1）作椭圆长轴的端点A和B。由于AB∥V，在V投影轮廓线上定a′和b′，再作出H投影a和b，然后作出a″和b″。
（2）作椭圆短轴的端点C和D。由于CD⊥V，在a′b′的中点定c′（d′），可用纬圆法作出c和d，然后作出c″和d″。
（3）作W投影轮廓线上的点E和F。先在V投影的轴线上定e′（f′），然后向右作投影连线与W投影轮廓线交得e″和f″，它们应是W面上椭圆与轮廓线的切点。
（4）用纬圆法或素线法作出椭圆上若干个中间点，如M和N等。
（5）分别将上述各点的H和W投影顺次光滑连接成椭圆。由于圆锥的上部截去后，截交线在H和W投影中均可见，应画为实线。
（6）用换面法作截断面的实形。先作椭圆的长轴AB∥PV，以此为基准线，量出Y方向的坐标差定出各点，然后连成椭圆。
例6—8 如图6—11a所示，求作圆锥被正平面Q切割后的投影。
图6—11 作圆锥的截交线（双曲线）
解 分析：
截平面Q平行于圆锥的轴线，可知截交线为双曲线。截交线的H投影和W投影分别积聚在QH和QW上，仅需作出其V投影。
作图步骤如图6—11b，c所示：
（1）作最高点A。先在W投影轮廓线上定a″，然后作出a′和a。A点是双曲线的顶点。
（2）作最低点B和C。B和C点在底圆上，B是最左点，C是最右点，可由b和c作出b′和c′。
（3）在最高点和最低点之间再作出一些中间点，如D，E等，用素线法或纬圆法皆可。
（4）光滑连接上述各点的V投影为双曲线，由于截平面Q是正平面，所以V投影反映截交线的实形。
3）球的截交线
图6—12 正平面与球相交
无论截平面处于何种位置，它与球的截交线总是圆。截平面愈靠近球心，截得的圆愈大，当截平面通过球心时，截得的圆最大，其直径等于球的直径。
只有当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影才反映圆的实形，否则投影为椭圆。如图6—12所示为正平面与球相交的情况，其V投影反映截交线圆的实际大小。
例6—9 求作球被正垂面切割后的投影
解 分析：
如图6—13所示正垂面与球相交，虽然截交线为圆，但其H投影和W投影均为椭圆。
图6—13 正垂面与球相交
作图步骤如下：
（1）作椭圆长轴的端点A和B。由于a′和b′在V投影轮廓线上，容易作出a和b，a″和b″；
（2）作椭圆短轴的端点C和D。a′b′的中点即为d′（c′），利用水平纬圆定出c和d，再作出c″和d″；
（3）作W投影轮廓线上的点E和F。先在V投影的轴线上定f′（e′），然后向右作投影线与W投影轮廓交得e″和f″，它们是椭圆与W面上轮廓线的切点；
（4）可用纬圆法再作出若干个中间点，然后将各点连成椭圆。球的上部切去后，截交线在H和W投影中均可见，故画为实线。轮廓线切去的部分不画，剩下的也应画清楚。
4）回转体的截交线
作回转体的截交线一般采用辅助平面法。
例6—10 求作铅垂面P与回转体的截交线。
解 分析：
如图6—14所示，回转体的轴线为铅垂线，可选择水平面作为辅助平面，水平面与回转面的交线为纬圆，纬圆与截平面P的交点即为截交线上的点。由于截平面P为铅垂面，截交线的H投影重合在PH上，据此再作出截交线的V投影。
图6—14 作回转体的截交线
作图步骤如下：
（1）作最高点A。先在H投影中作纬圆与PH相切于a点，再作出此纬圆即辅助平面Q的V投影QV，在QV上定a′点。
（2）作最低点M和N。M和N点在底圆上，可由m和n作出m′和n′。
（3）作V投影轮廓线上的点B。在H投影中PH与水平中心线的交点为b，由b作投影连线与V投影轮廓线相交于b′。在同一纬圆高度位置（即辅助平面R上）还可以作出C点。
（4）用辅助平面法还可作出若干中间点，如E和F点。先在V投影中适当高度作辅助平面SV，量取纬圆直径，在H投影中作出此纬圆，与PH交于e和f，然后在SV上定出e′和f′。
（5）将上述各点的V投影依次连接成光滑的曲线，并将前半个回转面上的截交线b′a′c′f′n′画为实线，将后半回转面上的截交线b′e′m′画为虚线。
例6—11 如图6—15a所示，已知具有切口的圆锥的V投影，求作其H投影和W投影。
图6—15 作具有切口的圆锥的投影
解 分析：
由V投影可以看出，圆锥的切口是由正垂面P、侧平面Q和水平面R三个截平面切割而形成的，截交线应分段作出。
作图过程如图6—15b，c所示：
（1）作正垂面P与圆锥的截交线（抛物线）BMANC，其中A为最高顶点，M和N是W投影轮廓线上的点，B和C是最低点。
（2）作侧平面Q与圆锥的截交线（双曲线的两段）BD和CE。
（3）作水平面R与圆锥的截交线（圆弧）DFE。
（4）作P与Q的交线BC，作Q与R的交线DE。
（5）圆锥的切去部分的投影轮廓线不再画出。所有截交线全是可见的，应画为实线。
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