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2023-09-24
投影变换解题举例书名：画法几何及土木工程制图
【摘要】：根据换面法和旋转法的基本原理，可将一般位置的直线和平面变换到特殊位置，以达到解题的目的。由于本题中AB和CD均为一般线，不能直接作出公垂线的投影，若把其中任一直线变换为与投影面垂直时，可根据其积聚投影作出公垂线和距离，为此需要经过两次变换，现用换面法作图。
根据换面法和旋转法的基本原理，可将一般位置的直线和平面变换到特殊位置，以达到解题的目的。前面已对点、直线、平面的基本变换作了详细介绍，这些方法概念清楚，作图简便，是解题的基础。对于各种各样的问题，解法并非千篇一律，而是要根据题目所给定的具体条件进行分析灵活运用。一般在解题时，首先进行空间分析，确定解题的方法和步骤，然后按次序作图，直至求出答案。
下面的一些例题，解法可能有多种，这里仅作出常用的一种解法。通过这些示例，可以举一反三，融会贯通，掌握解题的基本方法，培养分析问题和解决问题的能力。
例4—1 如图4—22a所示，已知矩形的一边AB[ab，a′b′]和其邻边BC的H投影bc，试补全此矩形ABCD的投影。
图4—22 用换面法补全矩形ABCD的投影
解 空间分析：
矩形的邻边互相垂直，即AB⊥BC，若将AB变换为投影面平行线，则可利用直角投影定理作出BC，然后根据矩形对边平行的特点，完成其投影图。下面分别用换面法和旋转法来作图。
换面法作图步骤如图4—22b，c所示：
（1）用V1代换V面，令V1∥AB且V1⊥H，则O1X1∥ab，作出a′1b′1；
（2）过b′1作a′1b′1的垂线，与过c的投影连线相交于c′1；
（3）返回到V面作出c′，于是得到b′c′；
（4）作c′d′∥b′a′，a′d′∥b′c′和cd∥ba，ad∥bc，完成矩形ABCD的投影。
旋转法作图步骤如图4—23所示：
图4—23 用旋转法补全矩形ABCD的投影
（1）以过B点的铅垂线为旋转轴，将AB旋转为正平线A1B，由a1b∥OX，作出a′1b′，BC应作相同的旋转，作出bc1；
（2）过b′作a′1b′的垂线，与过c1的投影连线相交于c′1；
（3）将BC1作反方向旋转，可求出b′c′；
（4）根据对边互相平行作出矩形的另两条边。
由上例可以看出，换面法和旋转法的解题思路是相同的，只是作图方法不同而已，故一般的问题用换面法和旋转法都可以解。
在充分理解换面法和旋转法的作图原理以后，有时还可以把两种方法结合起来解题。
例4—2 如图4—24a所示，已知两相交直线AB和BC，求它们的夹角∠ABC的真实大小。
解 空间分析：
两相交直线AB和BC确定一个平面，若将该平面变换为投影面平行面时，则能反映∠ABC的真实大小。由于平面ABC是一般位置，必须经过两次变换，本题在这里第一次用换面法作图，第二次用旋转法作图。
作图步骤：
（1）用V1代换V面，先作出△ABC内的水平线AD，令V1⊥H且V1⊥AD，于是O1X1⊥ad，则a1b1c1积聚为直线，如图4—24b所示；
（2）令旋转轴通过C1点且垂直于V1面，将a′1b′1c′1旋转到与O1X1平行，即a′2b′2c′1∥O1X1，然后作出∠a2b2c，则∠a2b2c为∠ABC的真实大小，如图4—24c所示。
由此可见，恰当地利用换面法和旋转法的特点，可以使作图更简捷。但是一般来说，旋转法需要作角度，不太方便，且作图又容易重叠，不如换面法清楚，所以解题最常用的还是换面法。
图4—24 求角度∠ABC的真实大小
例4—3 如图4—25a所示，求两交叉直线AB和CD的公垂线MN及距离。
解 空间分析：
公垂线MN应与AB和CD均垂直，其实长即所求实际距离。由于本题中AB和CD均为一般线，不能直接作出公垂线的投影，若把其中任一直线变换为与投影面垂直时，可根据其积聚投影作出公垂线和距离，为此需要经过两次变换，现用换面法作图。
作图步骤如图4—25b，c所示：
（1）用V1代换V面，令V1∥CD且V1⊥H，于是O1X1∥cd，作出c′1d′1和a′1b′1；
（2）用H2代换H面，令H2⊥CD且H2⊥V1，于是O2X2⊥c′1d′1，作出c2d2和a2b2；
（3）由于c2d2积聚为一点，公垂线上N点的投影n2亦重合于此点，过此点作m2n2⊥a2b2，得垂足m2，m2n2为公垂线MN的投影，且反映其实长即距离；
（4）过m2作垂直于O2X2的投影连线，交a′1b′1于m′1，然后作m′1n′1∥O2X2，交c′1d′1于n′1；
（5）返回到H面和V面上，依次作出mn和m′n′，MN即所求公垂线。
图4—25 求两交叉直线的公垂线及距离
例4—4 如图4—26a所示，已知AB∥CD，且距离为15，求作CD的水平投影cd。
解 空间分析：
若经过两次换面，将两平行线AB和CD变换为投影面垂直线，则在该投影面上它们的投影有积聚性，且反映真实距离。这时可定出CD的位置，然后返回到H面中作出cd。
作图步骤如图4—26b，c所示：
（1）令O1X1∥a′b′，作出a1b1；
（2）令O2X2⊥a1b1，作出a′2b′2；
图4—26 补全直线CD的投影
（3）以a′2b′2为圆心，作R＝15mm的圆，c′2d′2必在此圆周上；以c′d′到O1X1的距离为长度作O2X2的平行线，交圆周于c′2d′2点；
（4）由c′2d′2返回到H面上作出cd。
本题有两解，图中只作出一解。
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2023-09-24
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2023-09-24
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