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画法几何：平面垂直关系

2023-09-24 理论教育版权反馈

【摘要】：图3—22两平面垂直的几何条件图3—23判断两平面垂直反之，若甲、乙两平面互相垂直，则由甲平面内任一点向乙平面所作垂线必在甲平面内。例3—7图3—24a，已知平面△ABC和直线MN，过MN作平面与△ABC垂直。图3—24作已知平面的垂面例3—8如图3—25a所示，判断两平面△ABC与△DEF是否垂直。特殊情况下，当两平面同时垂直于某一投影面时，则在该投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。

两平面垂直的几何条件：若直线垂直于平面，则包含此直线的所有平面都与该平面垂直。如图3—22所示，直线MN垂直于平面P，则过MN的平面Q和R都与P垂直。

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图3—22　两平面垂直的几何条件

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图3—23　判断两平面垂直

反之，若甲、乙两平面互相垂直，则由甲平面内任一点向乙平面所作垂线必在甲平面内。如图3—23所示，若平面P⊥Q，由Q面内M点作MN⊥P，则MN在Q平面内。

根据两平面垂直的几何条件，可以作已知平面的垂面，也可以判断两平面是否垂直。

例3—7　图3—24a，已知平面△ABC和直线MN，过MN作平面与△ABC垂直。

解　作图如图3—24b所示：

已知△ABC内的水平线AC，正平线BC，过MN上任一点M，作ml⊥ac，m′l′⊥b′c′，于是直线ML⊥△ABC，所以平面[ML×MN]⊥△ABC。

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图3—24　作已知平面的垂面

例3—8　如图3—25a所示，判断两平面△ABC与△DEF是否垂直。

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图3—25　判断两一般面是否垂直

解　判断过程如图3—25b所示：

（1）作△ABC内的水平线AG[ag，a′g′]和正平线AH[ah，a′h′]；

（2）过△DEF内的任意点D作DL⊥△ABC，即dl⊥ag，d′l′⊥a′h′；

（3）由作图结果知DL在△DEF内，故△ABC⊥△DEF。

特殊情况下，当两平面同时垂直于某一投影面时，则在该投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。如图3—26所示，P和Q均为正垂面，由于V投影p′⊥q′，所以P⊥Q。

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图3—26　两正垂面垂直