直线与平面平行的几何条件：若直线平行于平面内任一直线，则该直线与平面互相平行。所求水平线MN必须平行于△ABC内的水平线。例3—2如图3—3a所示，判断直线MN与平面ABCD是否平行。解问题归结于能否在ABCD内作出平行于MN的直线。如图3—3b所示，可先在ABCD内任作一直线EF，使e′f′∥m′n′，再求出ef。当平面处于特殊位置时，该平面的某个投影有积聚性，则平行关系可以从积聚性投影中反映出来。......
2023-09-24
直线与平面垂直的画法几何与土木工程制图
【摘要】：直线与平面垂直的几何条件：若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。图3—18直线与平面垂直的投影特性例3—5如图3—19a所示，已知△ABC和M点，过M点作△ABC的垂线MN。如图3—21所示，正平线MN与正垂面P垂直。
直线与平面垂直的几何条件：若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。反之，若直线与平面垂直，则该直线垂直于平面内的所有直线。如图3—17所示，由于MN⊥AB，MN⊥CD，且AB×CD，因此MN⊥P[AB×CD]。若已知MN⊥P，则MN与P平面内的所有直线均垂直，如图中MN⊥EF，MN⊥KL（两直线的垂直可以是相交垂直，也可以是交叉垂直）。
图3—17 直线与平面垂直的几何条件
根据上面的分析，直线与平面的垂直问题就转化成两直线的垂直问题。直线垂直于平面，必垂直于平面内的投影面平行线。如图3—18a所示，直线MN垂直于P平面，必垂直于P平面内的水平线AB和正平线AC。由直角投影定理可知，在投影图中mn⊥ab，m′n′⊥a′c′，如图3—18b所示。于是可得到直线与平面垂直的投影特性如下：
若直线垂直于平面，则该直线的H投影垂直于平面内水平线的H投影，该直线的V投影垂直于平面内正平线的V投影，该直线的W投影垂直于平面内侧平线的W投影。
根据直线与平面垂直的投影特性，可以作已知平面的垂线，或作已知直线的垂面，也可以判断直线与平面是否垂直。
图3—18 直线与平面垂直的投影特性
例3—5 如图3—19a所示，已知△ABC和M点，过M点作△ABC的垂线MN。
图3—19 作已知平面的垂线
解 作图步骤如图3—19b，c所示：
（1）作△ABC内的水平线AD[ad，a′d′]，再作mn⊥ad；
（2）作△ABC内的正平线CE[ce，c′e′]，再作m′n′⊥c′e′；
（3）于是所作MN⊥△ABC。
例3—6 如图3—20a所示，判断直线MN是否垂直于△ABC。
图3—20 判断直线与平面是否垂直
图3—21 正平线与正垂面垂直
解 看平面△ABC内的水平线和正平线是否与MN垂直，判断过程如图3—20b：
（1）作△ABC内的水平线AD[ad，a′d′]，因ad⊥mn，故AD⊥MN；
（2）作△ABC内的正平线CE[ce，c′e′]，因c′e′⊥\m′n′，故CE⊥\MN（⊥\为不垂直）；
（3）虽然MN⊥AD，但MN⊥\CE，所以MN⊥\△ABC。
在特殊情况下，当平面垂直于某投影面，而直线又平行于该投影面时，则在该投影面上的投影反映它们夹角的真实大小。如图3—21所示，正平线MN与正垂面P垂直。
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2023-09-24
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