如图2—15中直线AB上有一点K，通过K点作垂直于H面的投射线Kk，它必在通过AB的投射平面ABba内，故K点的H面投影k必在AB的投影ab上。2）定比性关系直线上的点将直线分为几段，各线段长度之比等于它们的同面投影长度之比。图2—15直线上的点的投影例2—5如图2—16a所示，已知ab和a′b′，求直线AB上K点的投影，使AK∶KB＝2∶3。边a′任作一直线，在其上量取：a′1＝am，a′2＝an，a′3＝ab。......
2023-09-24
平面内的点和直线：画法几何及土木工程制图
【摘要】：通常所说在平面内作点和直线，均是指所作的点和直线应属于该平面的空间位置。平面内的投影面平行线既应符合平面内直线的几何条件，又要符合投影面平行线的投影特性。平面内垂直于水平线的直线，称为对H面的最大坡度线；平面内垂直于正平线的直线，称为对V面的最大坡度线；平面内垂直于侧平线的直线，称为对W面的最大坡度线。在图2—36中，画出了P平面内的三种最大坡度线。
根据平面的投影就可以确定该平面在空间位置。通常所说在平面内（或平面上）作点和直线，均是指所作的点和直线应属于该平面的空间位置。
1）点和直线在平面内的几何条件
图2—31 平面内的点和直线
（1）若点在平面内的一条已知直线上，则该点在平面内。
（2）若直线通过平面内的两个已知点；或通过平面内的一个已知点，且平行于平面内的另一条已知直线，则该直线在平面内。
例如图2—31所示：K点在已知直线BC上，故K点在平面ABC内；M，N是平面ABC内的两个已知点，因此直线MN在平面内；由于A点是平面内的已知点，且AD∥BC，所以直线AD在平面ABC内。
根据以上几何条件，不仅可以在平面内取点和直线，而且可以根据它们的投影判断点和直线是否在平面内。
例2—11 如图2—32a所示，已知平面△ABC[△abc，△a′b′c′]和点D[d，d′]，判断D点是否在平面ABC内。
解 如果D点在平面ABC内的一条直线上，则D点在平面内，否则就不在。作图步骤如图2—32b所示：
（1）在H投影中，过d任作一辅助直线ad，ad交bc于e；
（2）作出平面ABC内的辅助直线AE的V投影a′e′；
（3）由于d′不在该辅助直线a′e′上，故D点不在平面ABC内。
图2—32 判断点是否在平面内
图2—33 平面内的投影面平行线
2）平面内的投影面平行线
平面内的投影面平行线有三种，即平面内的水平线、正平线、侧平线。如图2—33所示，在平面P内画出了这三种直线，每种直线均互相平行，且与相应的迹线平行，如水平线与PH平行，正平线与PV平行，侧平线与PW平行。
平面内的投影面平行线既应符合平面内直线的几何条件，又要符合投影面平行线的投影特性。
如图2—34所示，在△ABC平面内分别作出了水平线AD、正平线CE、侧平面BF。
图2—34 作平面内的水平线、正平线、侧平线
例2—12 在△ABC平面内求作M点，使M点距H面为10，距V面为15（图2—35）。
解 在△ABC平面内作出距H面为10mm的水平线DE，再作出距V面为15mm的正平线FG，两条线的交点M必满足要求。作图步骤如下：
（1）先作d′e′∥OX，且距OX为10，再作出de，如图2—35a所示；
（2）作fg∥OX，且距OX为15，fg与de相交于m，如图2—35b所示；
（3）由m作出d′e′上的m′，点M[m，m′]即为所求，如图2—35c所示。
图2—35 求平面内的M点
3）平面的最大坡度线
平面内对投影面倾角为最大的直线，称为平面的最大坡度线（或称最大斜度线），它垂直于平面内相应的投影面平行线。平面内垂直于水平线的直线，称为对H面的最大坡度线；平面内垂直于正平线的直线，称为对V面的最大坡度线；平面内垂直于侧平线的直线，称为对W面的最大坡度线。在图2—36中，画出了P平面内的三种最大坡度线。
图2—36 平面内的三种最大坡度线
图2—37 对H面的最大坡度线
图2—37中AD是P平面的对H面的最大坡度线，它垂直于迹线PH，PH可看作P平面内的一条水平线。现证明在P平面内的所有直线中，AD的α角最大：在P平面内过A点任作一直线AE，它对H面的倾角为α1，在直角△ADa中有
，在直角△AEa中有
，又△AED为直角三角形，故AD＜AE，所以α＞α1。
由图2—37还可以看出，平面P对H面的最大坡度线AD的α角，就反映了该平面的α角。同理可知，对V面的最大坡度线的β角，反映该平面的β角；对W面的最大坡度线的γ角，反映该平面的γ角。因此欲求一般位置平面的倾角，可利用该平面的最大坡度线来作图求解。
例2—13 求△ABC的倾角α（图2—38）。
解 作图步骤：
（1）作平面内的水平线AD[ad，a′d′]，如图2—38a所示；
（2）作平面内的直线BE⊥AD，BE[be，b′e′]即为对H面的最大坡度线，如图2—38b所示；
（3）用直角三角形法求出BE的α角，即为平面△ABC的α角，如图2—38c所示。
图2—38 求一般面的α角
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2023-09-24
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