两个点在空间的相对位置关系，是以其中一个点为基准，来判定另一点在该点的左或右、前或后、上或下。反之如果已知两点的相对位置，以及其中一点的投影，也可以依照上述原理作出另一点的投影。图2—8两点的相对位置如图2—9a所示，A点和B点在同一条垂直于H面的投射线上，它们的H投影a和b重合。图2—9重影点的位置及其可见性......
2023-09-24
两直线相对位置-画法几何及土木工程制图
【摘要】：两直线之间的基本相对位置有三种：平行、相交、交叉。图2—20两直线相交反之，若两直线的三组同面投影均相交，且交点符合点的投影规律，则空间两直线必相交。图2—21判别两直线是否相交解一般情况下，根据V和H两投影就可判定是否相交，但若两直线中有一条是侧平线，则需要作出W投影。所以在这里仅讨论两直线垂直相交时的投影特性，所得结论对于两直线垂直交叉时仍同样适用。
两直线之间的基本相对位置有三种：平行、相交、交叉（交叉又称交错、异面）。垂直是相交和交叉位置中的特殊情况。
1）两直线平行
（1）若两直线互相平行，则它们的同面投影必互相平行（平行性）。
如图2—18所示，直线AB∥CD，通过AB和CD所作垂直于H面的两个投射平面互相平行，因此它们与H面的交线必互相平行，即ab∥cd。同理，a′b′∥c′d′，a″b″∥c″d″。
反之，若两直线的三组同面投影均互相平行，则在空间两直线必平行。
图2—18 两直线平行
（2）若两直线互相平行，则它们的长度之比等于它们的同面投影长度之比（定比性）。
如图2—18所示，由于AB∥CD，它们对H面的倾角α相等，而ab＝ABcosα，cd＝CDcosα，于是ab∶cd＝AB∶CD。同理，a′b′∶c′d′＝AB∶CD，a″b″∶c″d″＝AB∶CD。
例2—7 如图2—19所示，判断两侧平线AB和CD是否平行。
图2—19 判别两侧平线是否平行
解 一般情况下可根据直线的H和V投影直接判断，但如果是侧平线，虽然ab∥cd，a′b′∥c′d′，还不能断定在空间AB和CD是否平行，这时可作出它们的W投影，若a″b″∥c″d″，则AB∥CD，如图2—19a所示；若a″b″∥\c″d″，则AB∥\CD，如图2—19b所示。
此题还可用其他方法判断，读者自行思考。
2）两直线相交
若两直线相交，则它们的同面投影必相交，且相邻两投影交点的连线垂直于相应的投影轴。
如图2—20所示，两直线AB和CD相交于K点，K点是两直线的共有点，它的H投影k既在ab上又在cd上，则一定是ab与cd的交点，同理，a′b′与c′d′相交于k′，a″b″与c″d″相交于k″，因k，k′，k″是K点的三个投影，所以kk′⊥OX，k′k″⊥OZ。
图2—20 两直线相交
反之，若两直线的三组同面投影均相交，且交点符合点的投影规律，则空间两直线必相交。
例2—8 如图2—21所示，判断AB和CD是否相交。
图2—21 判别两直线是否相交
解 一般情况下，根据V和H两投影就可判定是否相交，但若两直线中有一条是侧平线，则需要作出W投影。如图2—21a所示，若a″b″与c″d″相交于k″，且k′k″⊥OZ，则AB与CD相交；如图2—21b所示，若a″b″与c″d″不相交，或交点不在过k′且垂直于OZ的投影连线上，则AB与CD不相交。
此题还可用其他方法判断，读者自行思考。
3）两直线交叉
在空间，两直线既不平行，也不相交，称为两直线交叉（或交错、异面）。
若两直线交叉，它们的投影既不符合两直线平行的投影特性，亦不符合两直线相交的投影特性。也就是说，交叉两直线可能有一对或两对投影平行，但绝不可能有三对投影都平行。它们也可能表现为一对、两对或三对投影相交，但这只是假象，在空间它们并没有真正的交点，故两直线同面投影的交点的连线与投影轴不会都表现为垂直。
如图2—22所示，AB和CD是交叉两直线，虽然ab与cd相交，a′b′与c′d′也相交，但交点的投影连线不垂直于X轴，不符合点的投影规律。ab与cd的交点实际上是AB上M点，和CD上N点在H面的重影点。根据重影点可见性的判别规则，M点在上，N点在下，故用m（n）表示。同理，a′b′与c′d′的交点是CD上的E点和AB上的F点在V面的重影点，E点在前，F点在后，故用e′（f′）表示。
图2—22 两直线交叉
4）两直线垂直
两直线互相垂直时有两种情况：垂直相交和垂直交叉。
交叉两直线的夹角是这样确定的：过其中一直线上任一点作另一直线的平行线，于是相交两直线的夹角就反映了原交叉两直线的夹角。所以在这里仅讨论两直线垂直相交时的投影特性，所得结论对于两直线垂直交叉时仍同样适用。
两直线垂直相交时，它们的夹角为直角。直角的投影有如下几种情况：
图2—23 直角的投影
（1）当直角的两边均平行于投影面时，则在该投影面上的投影反映直角。如图2—23中，AB⊥BC，且AB∥H，BC∥H，于是ab⊥bc。
（2）当直角的一边垂直于投影面时，则在该投影面上的投影为一直线。如图2—23中，DE⊥EF，且DE∥H，EF⊥H，则def为直线。
（3）当直角的两边均倾斜于投影面时，则在该投影面上的投影不反映直角。如图2—23中，MN⊥NL，且MN⊥H，NL⊥H（⊥是倾斜符号），则∠mnl为钝角，mn与nl不垂直。
（4）当直角的一边平行于投影面，且另一边倾斜于投影面时，则在该投影面上的投影反映直角。如图2—23中，IJ⊥JK，且IJ∥H，JK⊥H，则ij⊥jk。
在上述四种投影情况中，第四种投影特性应用最多，通常称为直角投影定理或垂直投影定理。现作简要证明如下：
图2—24 直角投影定理
如图2—24a所示，已知AB⊥BC，AB∥H，BC⊥H.
∵AB∥H，Bb⊥H ∴AB⊥Bb
∵AB⊥BC，AB⊥Bb ∴AB⊥BCcb（平面）
∵AB∥H ∴ab∥AB
∵ab∥AB，AB⊥BCcb ∴ab⊥BCcb
∵ab⊥BCcb ∴ab⊥bc（证毕）
根据以上证明可知，直角投影定理的逆定理也是成立的。若相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。如图2—24b所示，若ab⊥bc，且a′b′∥OX（AB∥H），则AB⊥BC。
例2—9 如图2—25a所示，已知直线AB[ab，a′b′]和C[c，c′]，求C点到直线AB的距离。
解 分析：
过C点作CD⊥AB，D为垂足，则CD的实长即为所求距离。由于AB为正平线，根据直角投影定理可知AB和CD的V投影反映垂直关系。
作图步骤如图2—25b，c所示：
图2—25 求点到直线的距离
（1）过c′作a′b′的垂线，交a′b′于d′；再过d′作投影连线交ab于d，于是得AB的垂线CD[cd，c′d′]；
（2）用直角三角形法求出CD的实长，即为所求距离。
例2—10 如图2—26a所示，已知交叉两直线AB[ab，a′b′]和CD[cd，c′d′]，求它们的公垂线MN和距离。
解 分析：
由于AB是铅垂线，MN⊥AB，故MN是水平线，根据直角投影定理，MN与CD的H投影能反映直角，且公垂线MN的实长即为它们的实际距离。
图2—26 求交叉直线的公垂线
作图步骤如图2—26b，c所示：
（1）直线AB的H投影积聚为一点ab，m也应与ab重合，于是过ab作cd的垂线，交cd于n；
（2）过n作投影连线，交c′d′于n′，由于MN是水平线，于是过n′作OX的平行线，交a′b′于m′；
（3）MN[mn，m′n′]即为所求的公垂线。公垂线的H投影mn能反映AB和CD的实际距离。
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