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2023-09-23
工程地下水（第2版）：利用数值法与最方法优选水文地质参数
【摘要】：应用数值法反求水文地质参数时，关键的问题是要求得的一组参数能客观地代表所研究的实际含水层的水文地质特征。应用最优化方法优选参数可以克服试算法的缺点，最优化方法很多，这里介绍无约束最优化的直接方法之一——单纯形加速法。若各个棱长彼此相等，则称正规单纯形。设其顶点分别为K1，K2，…，f｝称Kl和Kh分别为单纯形的最好点和最坏点。图2-45调参子程序框图
应用数值法反求水文地质参数时，关键的问题是要求得的一组参数能客观地代表所研究的实际含水层的水文地质特征。其检验的标准是，利用所建立的数学模型计算所得的各节点水位（水头）值应与实测的各节点水位（或水头）值误差最小。
当采用最小二乘法误差标准，则参数的识别问题可表述为如下的最优化问题：目标函数
约束条件
式中 E——目标函数；
，…，
——组最优参数；
J——观测时段总数；
N——观测点总数；
Hj（ti）——ti时刻j节点的计算水位值；
（ti）——ti时刻j节点的实测水位值；
ωij——权因子，一般精度要求愈高时，ωij取值愈大；
ki——任一组中第i个参数；
αi——第i个参数的下限；
βi——第i个参数的上限。
求解上述最优化问题的方法很多，常用的试算法工作量大，因它在每次重复试算时缺少一个收敛准则，在调参过程中带有盲目性，且费时，尤其未知参数较多时反复调参所需延续时间较长。应用最优化方法优选参数可以克服试算法的缺点，最优化方法很多，这里介绍无约束最优化的直接方法之一——单纯形加速法。
2.7.3.1 单纯形加速法基本原理
单纯形加速法探寻最优解的基本原理是，在En中构成的n+1个单纯形顶点上分别计算目标函数值E，并进行比较，确定其最坏点、次坏点和好点，从它们之间的大小关系判断函数变化的大致趋势，分情况选择反射、延伸、压缩等步骤构成新的单纯形，直至单纯形顶点的函数值达到要求的极小值为止，则该组参数值即为寻求的一组最优参数值。在En中的单纯形是指具有n+1顶点的多面体。若各个棱长彼此相等，则称正规单纯形。设在n维空间中给出点
使K0为构造一个棱长为α的正规单纯形的一个顶点，令
其余n个顶点
按如下方式构造：
即
则K0，K1，…，Kn构成一个棱长为α的正规单纯形。
2.7.3.2 加速单纯形法的迭代步骤
（1）给定初始点K0，构造初始单纯形。设其顶点分别为K1，K2，…，Kn，给定允许误差ε＞0，计算
Ei=f（K2），（i=1，2，…，n）。
令
El=f（Kl）=min｛f（K0），f（K1），…，f（Kn）｝ （2-97）
Eh=f（Kh）=min｛f（K0），f（K1），…，f（Kn）｝ （2-98）
称Kl和Kh分别为单纯形的最好点和最坏点。
若把最坏点Kh去掉，则剩下的n个顶点K0，K1，…，Kh-1，Kh+1，…，Kn构成n-1维空间中的单纯形。
它的中心是
（2）反射：以Kf为中心将Kh反射为Kr
Kr=Kf+α（Kf-Kh） （2-100）
其中，α＞0是反射系数，通常取α=1。
因为Kh是最坏点，通过反射。一般会有
Er＜Eh （2-101）
从而得到比Kh好的点Kr，如图2-44（a）所示。
图2-44 加速单纯形法迭代步骤示意图
（3）延伸：经过反射不仅式（2-101）成立，而且进一步有
Et＜El （2-102）
这表明Kr比Kl更好，因而反射方向是降低函数值的一个有效方向，则在这一方向时单纯形进行延伸，令
Ee=Kf+γ（Kr-Kf）
其中，γ＞1是延伸系数，通常γ=2。如果仍有
Ee＜Eh （2-103）
则以Ke替换Kh，而其余n个顶点不变，构成新的单纯形，如图2-44（a）所示，转向第（6）步。
如果式（2-97）成立，而式（2-103）不成立，则应以反射点Kr替换Kh构成新的单纯形，如图2-44（b）所示，转向第（6）步。
（4）压缩：如果式（2-102）不成立，即反射点Kr并不比原单纯形的最好点Kl好，分两种情况：
①若对于某个j≠h使得
Er≤Ej
即除最坏点Kh外，反射点Kr不比其余所有的顶点坏。这时仍以Kr替换Kh，而构成新的单纯形，转向第6步。
②若对每一个Kh，都有
Er＞Ej
则反射的结果产生了一个新的坏点，则在这一方向对单纯形进行压缩。分两种情况，如图2-44（c）所示。
第1种情况，若
Er＞Eh （2-104）
即反射点比原单纯形的最坏点更坏，则弃案Kr，对向量Kh-Kf进行压缩，
Ke=Kf+β（Kh-Kf）
其中，0＜β＜1，是压缩系数，通常β=0.5。
第2种情况若式（2-104）不成立，则对向量Kh-Kf进行压缩，得
Kc=Kf+β（Kr-Kf）
压缩后还要判别压缩点Kc是否比原单纯形的最坏点Kh还坏，即下式是否成立
Ec＞Eh
若成立，则舍弃压缩点Kc转向第5步；否则要以Kc代替Kh构成新的单纯形，转向第6步。
（5）减小棱长：将原单纯形的最好点Kl保持不动，其他的顶点向Kl压缩一半距离，即
这样得到新的单纯形，其棱长为原单纯形棱长的一半，转向第6步。
（6）判别
是否成立，若成立，则停止，得K＊=Kl，否则返回第1步。
2.7.3.3 应用
应用单纯形加速法与有限元程序拟合优选参数时，单纯形加速法为主程序，当确定寻优方向给定一组参数后，要调用子程序，如图2-45所示，判别由单纯形加速法各迭代步骤优选的各参数值是否符合各参数值要求的上、下限范围内，若符合则调用有限单元子程序计算各节点水位值，进而计算函数值E，完成后再返回主程序，并比较单纯形各顶点函数值的大小，进而确定下一步寻查方向，直到找到最优顶点为止，即为一组最优参数。
当计算区的含水层参数分为若干区时，可分别对各区单独调参，最后再对全区综合协调调参。
图2-45 调参子程序框图
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