响应面法在确定性分析和可靠性分析间搭起了一座桥梁，它能够较好地将常用的可靠度分析方法运用到实际工程结构的可靠度分析中［5］。响应面法的基本思想是通过一系列确定性的试验拟合一个响应面来模拟真实的极限状态曲面，建立参数输入与结构响应之间的关系，并将隐式的功能函数显式地表达出来。这个纯经验的响应面近似拟合技术的关键是在何处用响应面法拟合来替代实际的极限状态曲面。......
2023-09-19
桥梁可靠度分析-二次序列响应面方法
【摘要】：第二章讲述了二次序列响应面方法的一般步骤，本节将就该方法与有限元的联合算法进行阐述。响应面法的基本思想是在真实的响应曲面上取出合适的样本点，通过回归分析，拟合出一个近似的曲面。Bucher［1］提出了采用二次序列函数为核函数的二次序列响应面方法。二次序列响应面法在实际工程结构可靠度分析中应用的关键在于响应面函数所需样本点的设计与选取，这将直接影响该算法的计算效率。表3.1均匀设计表
第二章讲述了二次序列响应面方法的一般步骤，本节将就该方法与有限元的联合算法进行阐述。响应面法的基本思想是在真实的响应曲面上取出合适的样本点，通过回归分析，拟合出一个近似的曲面。在一定的区域内，拟合的近似曲面可代替真实结构响应函数，用以分析新的参数数据下结构的响应。Bucher［1］提出了采用二次序列函数为核函数的二次序列响应面方法。
二次序列响应面法在实际工程结构可靠度分析中应用的关键在于响应面函数所需样本点的设计与选取，这将直接影响该算法的计算效率。样本点的选取方案可采用试验设计（Experiment Design，ED）方法完成［2］，其目的是在样本空间中选取试验点的位置与数量，从而确定拟合响应面函数系数值。下文将从目前使用较多的中心复合设计方法、因子设计法、正交设计法、均匀设计法等方面介绍样本点设计方法。
目前较为广泛使用的是Bucher提出的中心复合设计（Central Composite Designs，CCD）方法。中心复合设计方法被广泛应用于各类工程结构的响应面拟合与可靠度分析。该法是由学者Bucher和Bourgund［1］从选点的角度提出的一种新的方法，其主要是参照响应面法中不含交叉项而推导出来的。假设拥有n个随机变量，那么可以按照设计：假设选择一个中心点x，轴点2n个，则共有（2n+1）个样本点。其样本点是以一个中心点为实验区域的中心点，然后在其中心点两侧选取轴点，因为此方法含有（2n+1）个待定系数，所以Bucher设计法含有较多的样本点数，可以有效地利用实验从而减小实验的次数。
中心复合设计法也称Box-Wilson设计法［3］，其布点的依据是根据Bucher设计法，在Bucher设计法点的基础上另外再增加2n个点，这个时候就形成了三维的立方体，该法与二次响应面法（通过二次功能函数进行拟合的）非常相近，该法的数学表达式如下：
析因设计法也称因子设计法，其考虑的因素有两个甚至更多［4］。析因设计法又被分为两个类型：全面的实验设计法和部分的因子设计法。相对全面实验设计法而言，部分因子设计法主要是考虑各个因素，以及多个因素之间的相互组合。对于全面实验设计的处理，一般根据其水平因素进行布点，其核心内容为把一个空间分割成很多个矩形网格线，然后将每个实验点布置在矩形的顶点处，故其又称为网格设计。
正交设计法是基于考虑很多因素的一种优化设计法，其宗旨是在全面的实验数据中选取样本（具有代表分析的数据）。根据以往设计好的正交表来规划实验设计，其中正交表一般可以划分为n个列数（因素数），n个行数（实验点的数目），而a为全面实验设计法依据因素得到的变量参数。
随着计算机技术与概率统计理论的发展，均匀设计（Uniform Design，UD）法在试验样本点设计方面表现出了突出的优势［5］。均匀设计法是我国学者方开泰［6］和王元共同提出的一种关于均匀方案的实验设计法，并按照所推荐的表格进行排序。自20世纪末以来，均匀设计法在理论研究上有了很多新的发展和创新，同时该法也在可靠度分析法中得到了广泛的使用。其与正交设计法相比，均匀设计样本的优势主要表现在：平均分散、整齐可比。均匀设计法的宗旨目标是减少研究的样本数量，通常我们只在其试验范围内进行平均分散、整齐比较。故做该设计实验时，一般将实验点平均分散在整个实验中。而均匀设计法相对其他实验方法的优点是在一定相同的条件之下，所进行的实验次数最少，同时因素的最大水平数也最小。该方法的本质是在试验范围内挑选出具有代表性质的试验点。与正交设计法的主要区别在于均匀设计样本点具有“均匀分散、整齐可比”的特点。因此，均匀设计是仅考虑试验点在试验范围内的均匀散布的一种试验方法。
假定因素个数为m，每个因素有n个水平，那么这个时候均匀设计法对于样本的选取只用n个。故它不仅能够有效对实验组合进行严格的控制，而且不会增加实验设计的工作，综合考虑这些优点，均匀设计法已经被广泛地应用在很多实验设计中。但是均匀设计也有其缺点，其不能很好地对结果进行直观判断，此时必须根据数据进行统计以及分析。表3.1给出了一张均匀设计表。
表3.1 均匀设计表
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