下面讨论积分式(3.1.1)在什么条件下存在.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续,则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数.设ζk =ξk+iηk,由于因此由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理可知,当弧段长度的最大值趋于零时,不论对C的分法如何,点(ξk,ηk) 的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的.因此有为便于记忆,公式(3.1.2)在形式上可以看作......
2023-10-30
混凝土结构设计计算公式及适用条件
【摘要】：1)基本计算公式钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载能力计算，以剪压破坏形态的受力特征为基础。《公路桥规》根据近年来的设计实践，将系数0.394调整为0.45，即得混凝土与箍筋共同的抗剪承载能力设计值计算表式(4.7)。2)公式的适用条件前已指出，《公路桥规》给出的钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载力计算公式是以剪压破坏形
1)基本计算公式
钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载能力计算，以剪压破坏形态的受力特征为基础。此时，斜截面所承受的剪力组合设计值，由斜裂缝顶端未开裂的混凝土、与斜裂缝相交的箍筋和弯起钢筋三者共同承担(图4.5)。
图4.5 斜截面抗剪承载力计算图式
钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载力计算的基本表达式为：
即
式中 Vd——斜截面受压端正截面处由作用(或荷载)产生的最大剪力组合设计值，kN；
Vc——斜截面顶端受压区混凝土的抗剪承载力设计值，kN；
Vsv——与斜截面相交的箍筋的抗剪承载力设计值，kN；
Vsb——与斜截面相交的弯起钢筋的抗剪承载力设计值，kN；
Vcs——斜截面内混凝土与箍筋共同的抗剪承载力设计值，kN。(1)混凝土抗剪承载力Vc
比较普遍地认为，影响混凝土抗剪承载力的主要因素是剪跨比、混凝土强度等级和纵向钢筋配筋率。
其中，剪跨比对混凝土的抗剪承载力有显著影响。当混凝土强度等级、截面尺寸及纵向钢筋配筋率相同时，剪跨比越大，混凝土的抗剪承载力越小；当剪跨比大于3时，变化逐渐减小。
混凝土强度等级直接影响斜截面抗剪承载力。混凝土强度等级越高，其受压、受剪及剪压状态下的强度极限值都相应提高。试验表明，混凝土强度等级对抗剪承载力的影响，并不呈线性关系，抗剪承载力大致与
成正比。
纵向钢筋可以约束斜裂缝的开展，阻止中性轴上升，有利于受压区混凝土抗剪作用的发挥。因此，纵向钢筋配筋率的大小对混凝土抗剪承载力也有影响。
根据国内外的有关试验资料，在考虑了材料性能的分项系数后，针对矩形截面梁混凝土抗剪承载力设计值的半经验半理论计算公式为：
式中 Vc——混凝土的抗剪承载力，kN；
fcu，k——混凝土的强度等级，MPa；
b——斜截面受压端正截面处的截面宽度，mm；
h0——斜截面受压端正截面处梁的有效高度，即纵向受拉钢筋合力点至截面受压边缘的距离，mm；
p——斜截面内纵向受拉钢筋配筋百分率，p=100ρ，ρ=As/bh0；当p＞2.5时，取p=2.5；
λ——剪跨比，λ=Md/Vdh0；当λ＜1.7时，取λ=1.7；当λ＞3时，取λ=3。
(2)箍筋抗剪承载力Vsv
箍筋的抗剪承载力是指与斜截面相交的箍筋抵抗梁沿斜截面破坏的能力。
式中 0.75——考虑抗剪工作的脆性破坏性质和箍筋的分项系数及应力分布不均等因素影响的修正系数；
Asv——斜截面内配置在同一截面的箍筋各肢总截面面积，mm2；
fsd，v——箍筋的抗拉强度设计值，MPa。
为确定与斜截面相交的箍筋数量，必须首先求得斜截面的水平投影长度C。根据钢筋混凝土梁斜截面破坏试验分析，斜截面的水平投影长度C与剪跨比λ有关，一般取C≈0.6λh0。
这样，箍筋的抗剪承载力即可表达为下列形式：
式中 Vsv——箍筋的抗剪承载力设计值，kN；
ρsv——箍筋的配筋率，ρsv=
；
Sv——斜截面范围箍筋的间距，mm。
其余符号意义同前。
前面分别讨论了混凝土和箍筋的抗剪承载力。事实上，混凝土的抗剪承载力与箍筋的配置情况存在着复杂的制约关系。故可用一个综合的抗剪承载力Vcs表示混凝土和箍筋共同承担的抗剪承载力。若将Vc和Vsv的计算表达式直接相加则得：
按公式(4.6)计算混凝土和箍筋的抗剪承载力，首先应算出剪跨比λ，这样是比较麻烦的。为了简化计算，《公路桥规》给出的混凝土和箍筋共同的抗剪承载力Vcs采用了两项积的表达形式：
混凝土和箍筋共同的抗剪承载力计算表达式(4.7)是从公式(4.6)导出的。从图4.6可以看出，混凝土的抗剪承载力Vc随剪跨比λ的增大而减小，而箍筋的抗剪承载力Vsv随剪跨比λ的增大而增加。这样，就可以求得一个“临界剪跨比”，使混凝土和箍筋共同承担的抗剪承载力为最小。为此，可对Vcs=Vc+Vsv求极值，即由d(Vs+Vsv)/dλ=0的条件，求得临界剪跨比：
图4.6 混凝土和箍筋抗剪承载力与剪跨比的关系
将公式(4.6)中的剪跨比λ，用临界剪跨比λL即式(4.8)代入，即可求得Vcs的最小值。
将上式进行通分整理后得：
应该指出，Vcs，min是混凝土和箍筋共同承担的抗剪承载力的最小值。《公路桥规》根据近年来的设计实践，将系数0.394调整为0.45，即得混凝土与箍筋共同的抗剪承载能力设计值计算表式(4.7)。
(3)弯起钢筋抗剪承载力Vsb
弯起钢筋对斜截面的抗剪作用，应为弯起钢筋抗拉承载力在竖直方向的分量：
式中 Vsb——弯起钢筋抗剪承载力，kN；
fsd，b——弯起钢筋的抗拉强度设计值，MPa；
Asb——斜截面内同一弯起平面的弯起钢筋截面面积，mm2；
θs——弯起钢筋与梁轴线的夹角；
0.75——考虑抗剪工作的脆性破坏性质和弯起钢筋应力分布不均匀等因素影响的修正系数。
应该指出，前面给出的混凝土和箍筋共同的抗剪承载力Vcs计算表达式(4.7)是针对矩形截面等高度简支梁建立的半经验半理论公式。对于具有受压翼缘的T形和工形截面来说，尚应考虑受压翼缘对混凝土抗剪承载力的影响。在试验研究的基础上，《公路桥规》引入修正系数α3=1.1，考虑受压翼缘对混凝土和箍筋抗剪承载力的提高作用。
《公路桥规》根据国内外进行的承受异号弯矩的等高度钢筋混凝土连续梁斜截面抗剪性能试验资料分析，引入系数α1=0.9，考虑异号弯矩对混凝土和箍筋共同的抗剪承载力的影响。
《公路桥规》给出的适用于矩形、T形和工形截面等高度钢筋混凝土简支梁及连续梁(包括悬臂梁)的斜截面抗剪承载力计算表达式，即可写成下列通用形式：
式中 α1——异号弯矩影响系数，计算简支梁和连续梁近边支点梁段的抗剪承载力时，取α1=1.0；计算连续近中间支点梁段和悬臂梁跨径内梁段的抗剪承载力时，取α1=0.9；
α2——预应力提高系数，对钢筋混凝土受弯构件，α2=1.0；对预应力混凝土受弯构件，α2=1.25，但当由钢筋合力引起的截面弯矩与外弯矩的方向相同时，或对于允许出现裂缝的预应力混凝土受弯构件，α2=1.0；
α3——受压翼缘影响系数，对矩形截面取α3=1.0；对具有受压翼缘的T形、工形截面，取α3=1.1。
2)公式的适用条件
前已指出，《公路桥规》给出的钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载力计算公式是以剪压破坏形态的受力特征为基础建立。换句话说，应用前述公式进行斜截面抗剪承载力计算的前提是构件的截面尺寸及配筋应符合发生剪压破坏的限制条件。
(1)上限值——最小截面尺寸
一般是用限制截面最小尺寸的办法，防止梁发生斜压破坏。《公路桥规》规定，矩形、T形和工形截面受弯构件，其截面尺寸应符合下列要求：
式中 Vd——由作用(或荷载)产生的计算截面最大剪力组合设计值，kN；
fcu，k——混凝土强度等级，MPa；
b——计算截面处的矩形截面宽度或T形和工形截面腹板宽度，mm；
h0——计算截面处梁的有效高度，即纵向受拉钢筋合力作用点至截面受压边缘的距离，mm。
公式(4.11)实际上规定了钢筋混凝土梁的抗剪强度上限值(发生剪压破坏的极限值)。
截面限制的意义：首先是为了防止梁构件截面尺寸过小，箍筋配置过多而发生斜压破坏；其次是控制斜裂缝宽度，同时也限定了受弯构件最大配箍率。设计中如不能满足上述条件，可加大截面尺寸或提高混凝土强度等级。
(2)下限值与最小配箍率
《公路桥规》还规定，矩形、T形和工形截面受弯构件，如符合下式要求时，则不需进行斜截面抗剪承载力计算，仅需按构造要求配置箍筋。
式中 ftd——混凝土抗拉强度设计值，MPa。
公式(4.12)实际上规定了钢筋混凝土梁抗剪强度下限值。
因此，梁的剪力组合设计值应控制在抗剪强度上、下限之间，即：
对于配置箍筋的构件，若箍筋配置过多，可能发生斜压破坏；若箍筋配置过少，一旦斜裂缝出现，箍筋的应力很快达到屈服强度，甚至被拉断，不能有效地抑制斜裂缝的开展而导致发生斜拉破坏。为了防止此类现象发生，需限制最小配箍率。
①最小配箍率
应有ρsv≥ρsv，min。《公路桥规》规定的最小配箍率：对于R235(Q235)钢筋，ρsv，min=0.0018；对于HRB335钢筋，ρsv，min=0.0012。
②箍筋最小直径dmin，应有d≥dmin。
③箍筋最大间距Smax；应有S≤Smax。
试验研究表明，梁斜截面承载力的大小，不仅与配箍率有关，而且还与箍筋的间距及直径大小有关。同样配箍率情况下，箍筋间距大，直径较小，不能充分发挥箍筋的作用，也不能满足钢筋骨架的刚度要求，因此规定箍筋间距和直径应满足表4.1和表4.2的构造要求。
表4.1 梁中箍筋最大间距 单位：mm
表4.2 箍筋最小直径 单位：mm
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