框架结构水平荷载下内力近似计算方法

2023-08-30 理论教育版权反馈

【摘要】：框架结构承受的水平荷载主要是风荷载和水平地震作用。由图4-15b可知，规则框架在水平荷载作用下，在柱中弯矩均为直线，均有一零弯矩点，称为反弯点，若求得各柱反弯点位置和剪力，则柱的弯矩就可求。水平荷载作用下框架结构的内力和侧移可用结构力学方法计算，常用的近似算法有迭代法、反弯点法、D值法和门架法等。标准反弯点高度比是在等高、等跨，各层梁柱线刚度都不变的多层框架在水平荷载作用下求得的反弯点高度比。

框架结构承受的水平荷载主要是风荷载和水平地震作用。为简化计算，可将风荷载和地震作用简化成作用在框架节点上的水平集中力。在水平荷载作用下，框架将产生侧移和转角，框架的变形图和弯矩图如图4-15所示。

图4-15 水平荷载作用下框架变形和弯矩示意图

由图4-15a可知，底层框架柱下端无侧移和转角，上部各节点有侧移和转角。由图4-15b可知，规则框架在水平荷载作用下，在柱中弯矩均为直线，均有一零弯矩点，称为反弯点，若求得各柱反弯点位置和剪力，则柱的弯矩就可求。水平荷载作用下框架结构的内力和侧移可用结构力学方法计算，常用的近似算法有迭代法、反弯点法、D值法和门架法等。本节主要介绍反弯点法和D值法的基本原理和计算要点。

1.反弯点法

（1）反弯点法的计算假定对层数不多的框架，柱轴力较小，截面面积也较小，梁的截面面积相对较大，框架梁的线刚度要比柱的线刚度大得多，框架节点的转角很小。当框架梁、柱线刚度比大于3时，框架在水平荷载作用下梁的弯曲变形很小，可以将梁的刚度视为无穷大，框架节点转角为零，其变形可简化为图4-16。

图4-16 反弯点法示意图

计算假定：①不考虑节点转角，即转角为0；②不考虑横梁轴向变形，即假定梁刚度为无穷大。

反弯点法的主要工作有两个：①求出各柱反弯点处的剪力；②确定反弯点高度。

（2）柱反弯点位置的确定当梁的线刚度假定为无穷大，且柱端无转角时，柱两端弯矩相等，反弯点在柱的中点。对于上层各框架柱，当框架梁柱线刚度比大于3时，柱端转角很小，反弯点接近中点，一般假定就在柱的中点，即反弯点高度y=h/2。对于底层柱，由于底端固定而上部有转角，反弯点向上移，通常假定反弯点在距底端2/3高度处，即。

图4-17 两端固接柱侧移时变形和弯矩图

（3）柱剪力的确定

1）柱的侧移刚度d。根据前述假定，框架柱端无转角但有水平位移时（见图4-17），柱剪力与水平位移的关系为。

设

则

式中 i_c——柱的线刚度；

h——柱高度；

Δ_u——柱端侧移，Δ_u=Δ_uj-Δ_uj-1；

d——柱的侧移刚度，其物理意义是柱上、下两端有单位侧移时，柱中产生的剪力。

2）柱剪力的确定。由计算假定可知，不考虑横梁变形时，同层各柱顶的相对位移均相等。由此可得第j层i根柱剪力：V_j1=d_j1Δ_uj，V_ji=d_jiΔ_uj。第j层柱的总剪力为V_j=V_j1+V_j2+…+V_ji，V_j=（d_j1+d_j2+…+d_ji）Δ_uj。

第j层的侧移为

则第j层第m柱剪力为

可见各柱剪力的大小是按各柱侧移刚度分配给各柱的。

（4）梁端、柱端弯矩的计算求出各柱剪力后，根据已知各柱反弯点位置，可求出各柱端弯矩。求出所有柱端弯矩后，根据节点力矩平衡求梁的弯矩。

1）柱端弯矩的计算。

柱上端弯矩

柱下端弯矩

2）梁端弯矩的计算。梁端总弯矩可由节点平衡求得。并按各梁的线刚度分配。

边节点M^l_b=∑M_c （4-7）

中间节点

【例4-3】框架计算简图如图4-18所示，用反弯点法求梁柱弯矩。

图4-18 框架计算简图

解：（1）求出各柱在反弯点处的剪力值

第三层

第二层

第一层

（2）求出各柱柱端的弯矩

第三层

第二层

第一层

（3）求出各横梁梁端的弯矩

第三层

第二层

第一层

（4）绘制各杆的弯矩图如图4-19所示。

图4-19 例4-3弯矩图（单位：kN·m）

2.D值法

计算层数较多的框架时，由于柱截面尺寸较大，梁柱相对线刚度比会减少，框架节点的转角对柱抗侧刚度和反弯点位置会有较大的影响。用反弯点法计算时，会有较大的误差。此时可用D值法计算。D值法是在反弯点法的基础上，考虑上述的影响，对柱的抗侧刚度和反弯点位置予以修正，所以此法也称修正反弯点法。D值法计算要点如下：

（1）柱的侧移刚度D值当柱两端有相对侧移Δ_u和转角θ时，柱的剪力为

设D=V/Δ_u，则

式中 D——修正后柱的抗侧刚度，与Δ_u、θ有关。

图4-20a所示多层框架，在水平荷载作用下，各节点将产生侧移和转角。框架节点A、B及与之相连的各杆件变形情况如图4-20b所示，为方便分析，推导D值时，作如下假定：①假定柱AB以及与柱AB相邻的各杆的杆端转角均为θ；②假定柱AB以及与其相邻的上、下层柱的线刚度均为i_c；③假定各层层间侧移均为Δ_u。

汇交于节点A的各杆端弯矩为

M_AE=（4i₃+2i₃）θ=6i₃θ，M_AG=6i₄θ

图4-20 框架侧移与节点转角

由节点A力矩平衡条件有 M_AE+M_AC+M_AG+M_AB=0

可得

同理，由节点B力矩平衡得

将上两式相加、整理得

令

则

k为梁柱线刚度比。对于边柱i₁=i₃=0，可得

对于框架底层柱，由于底端为固定端，无转角，可按类似方法推导出梁柱线刚度比

将θ代入式（4-11）得

令

则

α表示梁柱线刚度比对柱刚度的影响，当梁柱线刚度比k值无穷大时，α=1，D=d。当梁柱线刚度比较小时，α＜1，D＜d。因此，α称为柱刚度修正系数，柱刚度修正系数见表4-3。

表4-3 柱刚度修正系数

（2）柱反弯点位置反弯点到柱下端的距离与柱高度的比值，称为反弯点高度比，用y表示。反弯点到柱底的距离即为yh。

柱反弯点的位置与柱两端的约束条件有关，当柱上、下两端固定或转角相同时，反弯点在中点；两端约束刚度不同时，转角也不相同，反弯点移向转角较大的一端，也就是向约束刚度较小的一端移动。影响柱两端约束刚度的主要因素有荷载的形式，结构总层数与该层所在位置，柱上、下层横梁刚度比，柱上、下层层高变化。

在D值法中，通过力学分析求得标准情况下的标准反弯点高度比y₀，再根据上、下层横梁刚度比及上、下层层高变化，对y₀进行修正。

1）标准反弯点高度比y₀。标准反弯点高度比是在等高、等跨，各层梁柱线刚度都不变的多层框架在水平荷载作用下求得的反弯点高度比。表4-4、表4-5列出了在均布水平荷载、倒三角形分布荷载下的y₀。

表4-4 均布水平荷载下各层柱标准高度比y₀

（续）

注：

表4-5 倒三角形分布荷载下标准反弯点高度比y₀

（续）

2）上、下层横梁刚度不同时的反弯点高度比位置修正值y₁。当某柱的上、下层横梁刚度不同，柱上、下节点转角也不同时，反弯点位置有变化，应将标准反弯点高度比y₀加以修正，修正系数为y₁（见图4-21a及表4-6）。

图4-21 反弯点位置变化图

a）上、下层梁刚度变化 b）层高变化

表4-6 上、下层横梁刚度变化时反弯点高度比的修正值y1

注：，当i₁+i₂＞i₃+i₄时，则α₁取倒数，即，并且y₁取负号；K按表4-3计算；底层可不考虑此项修正，即取y₁=0。

当i₁+i₂＜i₃+i₄时，反弯点应向上移动，取，y₁取正值；当i₁+i₂＞i₃+i₄时，反弯点应向下移动，取，y1取负值；底层柱不考虑修正值y₁。

3）上、下层层高变化时的反弯点高度比位置修正值y₂和y₃。层高有变化时，反弯点位置的变化如图4-21b所示。α₂为上层层高h_上和本层层高h之比。当α₂＞1时，反弯点向上移动，y₂为正值；当α₂＜1时，反弯点向下移动，y₂为负值；顶层不考虑修正值y₂。α₃为下层层高h_下和本层层高h的比值。当α₃＞1时，反弯点向下移动，y₃为负值；当α₃＜1时，反弯点向下移动，y₃为正值；底层不考虑修正值y₃。