当板厚远小于板短边尺寸的1/30，且板的挠度远小于板厚时，双向板可按弹性薄板理论计算。对于跨内截面弯矩值，尚应考虑双向弯曲对两个方向板带弯矩值的相互影响。图2-40 连续双向板的计算图式......
2023-08-30
混凝土结构设计中的2.3.3双向板塑性分析方法
【摘要】：双向板按塑性理论计算的方法很多，塑性铰线法是最常用的方法之一。一般将裂缝出现在板底的称为正塑性铰线；裂缝出现在板面的称为负塑性铰线。现以均布荷载作用下四边固定支承的双向板为例，采用塑性铰线法分析双向板的极限承载力。
双向板按塑性理论计算的方法很多，塑性铰线法是最常用的方法之一。塑性铰线与塑性铰的概念是相仿的。塑性铰出现在杆系结构中，而板式结构则形成塑性铰线。两者都是因受拉钢筋屈服所致。
一般将裂缝出现在板底的称为正塑性铰线；裂缝出现在板面的称为负塑性铰线。用塑性铰线法计算双向板分两个步骤：首先假定板的破坏机构，即由一些塑性铰线把板分割成由若干个刚性板所构成的破坏机构；然后利用虚功原理，建立荷载与作用在塑性铰线上的弯矩之间的关系，从而求出各塑性铰线上的弯矩，以此作为各截面的弯矩设计值进行配筋设计。
从理论上讲，塑性铰线法得到的是一个上限解，即板的承载力将小于等于该解。实际上由于穹隆作用等有利因素，试验结果得到的板的破坏荷载都超过按塑性铰线算得的值。
1.塑性铰线法的基本假定
1）沿塑性铰线单位长度上的弯矩为常数，等于相应板配筋的极限弯矩。
2）形成破坏机构时，整块板由若干个刚性板块和若干条塑性铰线组成，忽略各刚性板块的弹性变形和塑性铰线上的剪切变形及扭转变形，即整块板仅考虑塑性铰线上的弯曲转动变形。
2.破坏机构的确定
确定板的破坏机构，就是要确定塑性铰线的位置。判别塑性铰线的位置可以依据以下四个原则进行：
1）对称结构具有对称的塑性铰线分布，如图2-41a中的四边简支正方形板，在两个方向都对称，因而塑性铰线也应该在两个方向对称。
图2-41 板的破坏机构
2）正弯矩部位出现正塑性铰线，如图2-41b中的实线所示，负塑性铰线则出现在负弯矩区域，如图2-41b中四边固支板的支座边（虚线）所示。
3）塑性铰线应满足转动要求，每一条塑性铰线都是两相邻刚性板块的公共边界，应能随两相邻板块一起转动，因而塑性铰线必须通过相邻板块转动轴的交点，在图2-41b中，板块Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅲ和Ⅳ，以及Ⅳ和Ⅰ的转动轴交点分别在四角，因而塑性铰线1、2、3、4需通过这些点，塑性铰线5与长向支承边（即板块Ⅰ和Ⅲ的转动轴）平行，意味着它们在无穷远处相交。
4）塑性铰线的数量应使整块板成为一个几何可变体系。
有时，破坏机构不止一个，这时需要研究各种破坏机构，求出最小的承载力。当不同的破坏机构可以用若干变量来描述时，可通过承载力对变量求导数的方法得到最小承载力。
3.基本原理
根据虚功原理，外力所做的功等于内力所做的内功。设任一条塑性铰线的长度为l，单位长度塑性铰线承受的弯矩为m，塑性铰线的转角为θ。
由于除塑性铰线上的塑性转动变形外，其余变形均略去不计，因而内功U等于各条塑性铰线上的弯矩矢量与转角矢量相乘的总和，即
U=∑lm·θ （2-45）
式中∑是指对各条塑性铰线求和。
外力所做的功W等于微元ds上的外力大小与该处竖向位移乘积的积分，设板内各点的竖向位移为w、各点的荷载集度为p，则外功为
W=∬wpds （2-46）
对于均布荷载，各点的荷载集度相同，p可以提到积分号的外面，而∬wds是板发生位移后倒角锥体体积，用V表示，可利用几何关系求得。于是式（2-46）可写成
W=pV （2-47）
虚功方程可表示为 ∑lm·θ=pV （2-48）
从上式可以得到极限荷载与弯矩的关系。
4.塑性铰线法的基本方程
楼盖中最常见的是四边支承矩形板。现以均布荷载作用下四边固定支承的双向板为例，采用塑性铰线法分析双向板的极限承载力。
图2-42 四边固定板的破坏机构
设双向板沿短向（l01）和沿长向（l02）承受正弯矩及负弯矩的配筋均匀配置于板底和板面。根据前面的介绍，可以确定板的破坏机构，如图2-42所示。共有5条正塑性铰线（图中1、2）和4条负塑性铰线（图中3、4、5、6）。这些塑性铰线将板划分为4个板块。短跨（l01）方向跨中总极限承载力（即总极限弯矩）用M1u表示，两支座的总极限承载力用M1′u和M″1u表示；长跨（l02）方向跨中总极限承载力用M2u表示，两支座的总极限承载力用M2′u和M″2u表示。于是单位长度正塑性铰线的受弯承载力（极限弯矩）为
m1u=M1u/l02，m2u=M2u/l01
单位长度负塑性铰线的受弯承载力（极限弯矩）为
m1′u=M1′u/l02，m″1u=M″1u/l02，m2′u=M2′u/l01，m″2u=M″2u/l01
为了简化，近似取斜向塑性铰线与板边的夹角为45°。设图中e、f发生单位竖向位移，则各条塑性铰线的转角分量及铰线在x、y方向的投影长度为（共4条）
塑性铰线1θ1x=θ1y=2/l01，l1x=l1y=l01/2
塑性铰线2θ2x=4/l01，θ2y=0，l2x=l02-l01，l2y=0
塑性铰线3、4
θ3x=θ4x=2/l01，θ3y=θ4y=0，l3x=l4x=l02，l3y=l4y=0
塑性铰线5、6
θ5x=θ6x=0，θ5y=θ6y=2/l01，l5x=l6x=0，l5y=l6y=l01
于是，内功
极限均布荷载pu的外功
最后由虚功方程，得到
式（2-49）就是四边固定支承双向板按塑性铰线法计算的基本公式，它表明了双向板上的总极限弯矩与板面极限均布荷载pu的关系。
如四边支承板为四边简支时，由于支座处塑性铰线弯矩值为零，根据式（2-49）可以得到四边简支双向板总极限弯矩与极限均布荷载pu的关系
5.双向板的塑性设计
（1）单区格双向板计算 双向板设计，通常是已知板面均布荷载设计值p=g+q和跨度l01及l02，要求板的弯矩设计值和配筋。利用式（2-49）设计时，pu用均布荷载设计值p代替，各条塑性铰线的总极限弯矩用相应的弯矩设计值代替。但一个方程无法同时确定多个变量，为此需要补充条件。根据弹性分析结果和控制弯矩调幅不宜过大的原则，可先按以下公式选定弯矩设计值之间的比值：
令 
式中 m1、m2——板跨内截面沿l01及l02方向单位板宽内的弯矩设计值；
m1′、m″1及m2′、m2″——板支座截面沿l01及l02方向单位板宽内的弯矩设计值。于是，式（2-49）可用n、α、β和m1表示，即
M1u=m1l02=nm1l01 （2-53）
M2u=m2l01=αm1l01 （2-54）
M1′u=M″1u=m1′l02=nβm1l01 （2-55）
M2′u=M2″u=m2′l01=αβm1l01 （2-56）
以上各式代入式（2-49），即得
m1求得后，其他弯矩设计值均可依据式（2-51）、式（2-52）确定，利用下列公式即可求得钢筋面积
m1=As1fyγsh01 （2-58）
m2=As2fyγsh02 （2-59）
m1′=m″1=As′1fyγsh0′1=A″s1fyγsh0″1 （2-60）
m2′=m2″=As′2fyγsh0′2=A″s2fyγsh0″2 （2-61）
式中 As1、As2及γsh01、γsh02——板跨内截面沿l01及l02方向单位板宽内的
纵向受力钢筋截面面积及其内力偶臂；
As′1、A″s1、As′2、A″s2及γsh0′1、γsh0″1、γsh0′2、γsh0″2——板支座截面沿l01及l02方向单位板宽内的
纵向受力钢筋截面面积及其内力偶臂。
需要注意的是，式（2-57）是在跨中和支座配筋均匀配置于板底和板面的前提下进行的，这显然过于浪费。为了合理利用钢筋，参考弹性理论的内力分析结果，通常将两个方向的跨中正弯矩钢筋在距支座l01/4处弯起50%，弯起钢筋可以承担部分支座负弯矩（见图2-43）。这样在距支座l01/4以内的正塑性铰线上单位板宽的极限弯矩值分别为m1/2和m2/2，故此时两个方向的跨中总极限弯矩分别为
支座上的负弯矩钢筋仍沿全长布置，即各负塑性铰线上的总极限弯矩不变。将式（2-55）、式（2-56）、式（2-62）、式（2-63）代入式（2-49），即得
式（2-64）是四边固定双向板在距支座l01/4处将跨中钢筋弯起一半时m1的计算公式。
以上方法是针对四边固定双向板的塑性设计，对于其他边界条件的双向板，可将简支支座的弯矩值取为零，按同样方法可以求出相应板的内力和配筋。
（2）双向板的其他破坏形式 若双向板的跨内钢筋弯起过早或弯起数量过多，可能将使余下的钢筋不能承受该处的正弯矩，以致使该处的钢筋比跨内钢筋先达到屈服而出现塑性铰线，形成图2-43所示的“倒锥台形”破坏机构，并导致双向板极限荷载的降低。验算表明，如跨内钢筋在距支座l01/4处弯起一半，当取n=l02/l01，α=m2/m1=（l01/l02）2，β=1.5～2.5时，将不会形成这种破坏机构。
当双向板支座负弯矩钢筋截断过早时，在没有负弯矩钢筋的区域可能形成图2-44所示的“局部倒锥形”破坏机构，将使双向板的极限荷载降低。验算表明，当支座负弯钢筋在距支座边l01/4处切断时，只要调幅后的支座负弯矩取值适当，即β取值不过大，则会防止形成这种破坏机构。但β取值亦不宜过小，否则将导致板的混凝土裂缝开展过大，因此设计时，β值可在1.5～2.5之间选用。
图2-43 双向板配筋及“倒锥台形”破坏形式
图2-44 双向板“局部倒锥形”破坏形式
对于多区格连续双向板，当永久荷载为满布而活荷载较大且按棋盘式间隔布置时，也可能产生图2-45所示的破坏机构。有活荷载的区格板出现正弯矩塑性铰线而发生“倒锥形”破坏；而没有活荷载的区格板，由于支座负弯矩钢筋在某处过早切断，致使该处钢筋截面突然减小，余下的钢筋不能承受该处负弯矩，因而出现负弯矩塑性铰线，发生“正锥台形”破坏。当双向板采用一般配筋形式，即支座负弯矩钢筋在距支座边l01/4处切断时，在一般情况下不会出现这种破坏形式；但当活荷载较大时，为防止发生这种破坏情况，应验算支座负弯矩钢筋切断点的位置。
（3）多区格连续双向板计算 在计算连续双向板时，内区格板可按四边固定的单区格板进行计算，边区格或角区格板可按外边界的实际支承情况的单区格板进行计算。计算时，首先从中间区格板开始，将中间区格板计算得出的各支座弯矩值，作为计算相邻区格板支座的已知弯矩值。这样，依次由内向外直至外区格板可一一求解。设计时，需要注意边区格和角区格的极限弯矩的表达。
图2-45 多区格连续双向板的破坏模式
1）三边连续、一长边简支。此时简支边的支座弯矩为零，其余支座弯矩和长跨跨中弯矩不变，仍然按式（2-55）、式（2-56）和式（2-63）计算，而短跨因简支边不需要弯起部分跨中钢筋，故跨中弯矩为
2）三边连续、一短边简支。此时简支边的支座弯矩为零，其余支座弯矩和短跨跨中弯矩不变，仍然按式（2-55）、式（2-56）和式（2-62）计算，而长跨因简支边不需要弯起部分跨中钢筋，故跨中弯矩为
3）两相邻边连续、另两相邻边简支。此时，两个方向的跨中弯矩分别取1）、2）两种情况的弯矩值。
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