混凝土连续梁板塑性理论内力分析方法

图2-16 内力设计值的修正

图2-17 钢筋混凝土塑性铰

1.塑性内力重分布

超静定结构的内力不仅与荷载有关，还与结构各部分的刚度比有关。如果刚度比改变，内力分布的规律也会相应变化。按弹性理论计算连续梁内力时，假定整个连续梁是等刚度的，并在受力过程中梁的抗弯刚度保持不变。由于钢筋混凝土截面配筋计算是按承载力极限状态进行的，此时梁中控制截面已明显进入塑性阶段，其截面抗弯刚度比初始刚度显著降低，而其他部位的刚度也随所承受的弯矩相应降低。因此，钢筋混凝土连续梁在整个受力过程中，各个截面的抗弯刚度比随荷载增加不断变化，这与弹性理论按等刚度连续梁且截面刚度保持不变的假定计算得到的内力是不一致的。这种不一致现象主要是由钢筋混凝土的受弯塑性变形引起的，称为塑性内力重分布。

内力重分布与应力重分布两者在概念上既有相同之处，也有区别。应力重分布是指由于材料非线性导致截面上应力分布与截面弹性应力分布不一致的现象，无论是静定的还是超静定的混凝土结构都存在应力重分布现象。内力重分布则是针对结构内力分布而言的。对静定结构来说，其内力分布与结构刚度无关，故不存在内力重分布现象，只有超静定结构才会有内力重分布现象。

2.塑性铰

从配筋梁在弯矩作用下正截面应力与应变分析中可知，其截面受弯分为三个工作阶段：弹性阶段、开裂后的带裂缝阶段和钢筋屈服后的破坏阶段。对于图2-17所示跨中集中荷载作用下的简支梁，从截面受拉区开始屈服到受压边缘混凝土达到极限压应变ε_cu，结构承载力由M_y至M_u虽然增加很小，但结构变形、曲率或转角急剧增加，即截面在弯矩值基本不变的情况下发生较大幅度的转动，犹如形成一个“铰”，此种转动是材料塑性变形及混凝土裂缝开展的表现，称之为“塑性铰”。

塑性铰与结构力学中理想铰不同，两者主要区别是：

1）理想铰不能承受弯矩，塑性铰能承受、传递一定的弯矩，近似等于极限弯矩；

2）理想铰可以自由转动，塑性铰只能沿弯矩作用方向作有限的转动；

3）理想铰集中于一点，塑性铰有一定长度。

对于静定结构，任一截面出现塑性铰，结构变成几何可变体系丧失承载能力。对于超静定结构，存在多余联系，出现一个塑性铰，就减少一次超静定，构件可继续承受荷载，直到其他截面也出现塑性铰，结构成为几何可变体系才丧失承载能力。

需要特别注意的是，塑性铰的转动能力有一定的限度，这会影响塑性内力重分布的程度。塑性铰的转动能力取决于截面屈服后的曲率增量（ϕ_u-ϕ_y）和塑性铰转动区域的长度L_p（名义塑性铰转动区域长度，图中L_y为跨中附近超过屈服弯矩区域的长度）。截面屈服曲率ϕ_y随配筋率增加略有增加，而截面极限曲率ϕ_u则随配筋率增加很快减小。当达到最大配筋率（即界限配筋率）时，受拉钢筋屈服的同时压区混凝土压坏，即ϕ_u=ϕ_y，这时塑性转动能力很小。塑性铰转动区域的长度L_p与荷载作用形式、截面有效高度有关，大致为1～1.5倍截面高度。塑性铰的转动能力θ_u可表示为θ_u=（ϕ_u-ϕ_y）L_p，即塑性铰的转动能力主要取决于ϕ_u，也即取决于配筋率和受拉钢筋的伸长率。为保证塑性铰有足够的转动能力，工程对按塑性内力重分布设计的连续梁，应控制配筋率，并采用伸长率大的钢筋。

3.塑性内力重分布的过程

图2-18a为跨中承受集中荷载的两跨连续梁，试验研究从开始加载直到梁破坏的全过程。假定支座截面和跨内截面的截面尺寸和配筋相同。梁的受力全过程大致可以分为三个阶段：

图2-18 梁上弯矩分布及破坏机构形成

a）跨中截面作用F₁的两跨连续梁 b）按弹性理论的弯矩图 c）B支座截面达到M_uB时的弯矩图 d）B支座截面出现塑性铰后在新增加的F₂作用下的弯矩图 e）截面1出现塑性铰时的变形及弯矩图

（1）弹性内力阶段 集中荷载由零逐渐增大至F₁，当荷载很小时，梁各截面的抗弯刚度的比值未改变，结构接近弹性体系，弯矩分布可近似地由弹性理论确定，如图2-18b所示。

（2）截面间抗弯刚度比值改变阶段 由于支座截面的弯矩最大，随着荷载增大，中间支座（截面B）受拉区混凝土先开裂，截面抗弯刚度降低，但跨内截面1尚未开裂。由于支座与跨内截面抗弯刚度的比值降低，致使支座截面弯矩M_B增长率低于跨内弯矩M₁的增长率。继续加载，当截面1出现裂缝时，截面抗弯刚度的比值有所回升，M_B的增长率又有所加快。两者的弯矩比值不断发生变化。

（3）塑性铰阶段 当荷载增加到支座截面B上部受拉钢筋屈服，支座塑性铰形成，塑性铰能承受的弯矩为M_uB（此处忽略M_u与M_y的差别），相应的荷载值为F₁。再继续增加荷载，梁从一次超静定的连续梁转变成了两根简支梁。由于跨内截面承载力尚未耗尽，因此还可以继续增加荷载，直至跨内截面1也出现塑性铰，梁成为几何可变体系而破坏。设后加的那部分荷载为F₂，则梁承受的总荷载为F=F₁+F₂。在F₂作用下，应按简支梁来计算跨内弯矩，此时支座弯矩不增加，维持在M_uB。

由上述分析可知，超静定钢筋混凝土结构的塑性内力重分布可概括为两个过程：第一过程主要发生在受拉混凝土开裂到第一个塑性铰形成之前，由于截面抗弯刚度比值的改变而引起的塑性内力重分布；第二过程发生于第一个塑性铰形成以后直到形成机构、结构破坏，由于结构计算简图的改变而引起的塑性内力重分布。显然，第二过程的塑性内力重分布比第一过程显著得多。所以，通常所说的塑性内力重分布主要是指第二过程。

4.影响塑性内力重分布的因素

若超静定结构中各塑性铰都具有足够的转动能力，保证结构加载后能按照预期的顺序，先后形成足够数目的塑性铰，以致最后形成机动体系而破坏，这种情况称为充分的塑性内力重分布。但是，塑性铰的转动能力是有限的，受到截面配筋率和材料极限应变值的限制。如果完成充分的塑性内力重分布过程所需要的转角超过了塑性铰的转动能力，则在尚未形成预期的破坏机构以前，早出现的塑性铰已经因为受压区混凝土达到极限压应变值而“过早”被压碎，这种情况属于不充分的塑性内力重分布。另外，如果在形成破坏机构之前，截面因受剪承载力不足而破坏，塑性内力也不可能充分地重分布。此外，在设计中除了要考虑承载能力极限状态外，还要考虑正常使用极限状态。结构在正常使用阶段，裂缝宽度和挠度不宜过大。

由上述可见，影响塑性内力重分布的主要因素有以下三个：

（1）塑性铰的转动能力 塑性铰的转动能力主要取决于纵向钢筋的配筋率、钢材的品种和混凝土的极限压应变值。截面的极限曲率ϕ_u=ε_cu/x，配筋率越低，受压区高度x就越小，ϕ_u就越大，塑性铰转动能力越大；混凝土的极限压应变值ε_cu越大，ϕ_u越大，塑性铰转动能力也越大。混凝土强度等级高时，极限压应变值减小，转动能力下降。普通热轧钢筋具有明显的屈服台阶，伸长率也较大。

（2）斜截面受剪承载力 要想实现预期的塑性内力重分布，其前提条件之一是在破坏机构形成前，不能发生因斜截面承载力不足而引起的破坏，否则将阻碍塑性内力重分布继续进行。国内外的试验研究表明，支座出现塑性铰后，连续梁的受剪承载力比不出现塑性铰的低。

（3）正常使用条件 如果最初出现的塑性铰转动幅度过大，塑性铰附近截面的裂缝就可能开展过宽，结构的挠度过大，不能满足正常使用的要求。因此，在考虑塑性内力重分布时，应对塑性铰的允许转动量予以控制，也就是要控制塑性内力重分布的幅度。一般要求在正常使用阶段不出现塑性铰。

5.考虑塑性内力重分布的意义和适用范围

目前在超静定混凝土结构设计中，结构的内力分析与构件截面设计是不相协调的，结构的内力分析采用传统的弹性理论，而构件的截面设计考虑了材料的塑性性能。实际上，超静定混凝土结构在承载过程中，由于混凝土的非弹性变形、裂缝的出现和发展、钢筋的锚固滑移，以及塑性铰的形成和转动等因素的影响，结构构件的刚度在各受力阶段不断发生变化，从而使结构的实际内力与变形明显地不同于按刚度不变的弹性理论算得的结果。所以在设计混凝土连续梁、板时，恰当地考虑结构的塑性内力重分布，不仅可以使结构的内力分析与截面设计相协调，而且具有以下优点：

1）能更正确地估计结构的承载力和使用阶段的变形、裂缝。

2）利用结构塑性内力重分布的特性，合理调整钢筋布置，可以克服支座钢筋拥挤现象，简化配筋构造，方便混凝土浇捣，从而提高施工效率和质量。

3）根据结构塑性内力重分布规律，在一定条件和范围内可以人为控制结构中的弯矩分布，从而使设计得以简化。

4）可以使结构在破坏时有较多的截面达到其承载力，从而充分发挥结构的潜力，有效地节约材料。

考虑塑性内力重分布是以形成塑性铰为前提的，因此下列情况不宜采用：

1）在使用阶段不允许出现裂缝或对裂缝开展有较严格限制的结构，如水池池壁、自防水屋面，以及处于侵蚀性环境中的结构。

2）直接承受动力和重复荷载的结构。

3）预应力结构和二次受力叠合结构。

4）要求有较高安全储备的结构。

6.连续梁、板按调幅法的内力计算

在广泛的试验研究基础上，国内外学者曾先后提出过多种超静定混凝土结构考虑塑性内力重分布的计算方法，如极限平衡法、塑性铰法、变刚度法、强迫转动法、弯矩调幅法及非线性全过程分析方法等。但是上述方法大多数计算繁冗，离工程设计应用尚有距离。目前，弯矩调幅法为多数国家的设计规范所采用。我国颁布的CECS51：93《钢筋混凝土连续梁和框架梁考虑内力重分布设计规程》也推荐用弯矩调幅法来计算钢筋混凝土连续梁、板和框架的内力。

（1）弯矩调幅法的概念和原则

1）概念：弯矩调幅法是一种实用设计方法，它把连续梁、板按弹性理论算得的弯矩值和剪力值进行适当调整，通常是对那些弯矩绝对值较大的截面弯矩进行调整，然后按调整后的内力进行截面设计。

截面弯矩的调整幅度用弯矩调幅系数β来表示，即

式中 M_e——按弹性理论算得的弯矩值；

M_a——调幅后的弯矩值。

图2-19为一两跨的等跨连续梁，在跨度中点作用有集中荷载F。如图2-19b所示，按弹性理论计算，支座弯矩M_e=-0.188Fl₀，跨中弯矩M₁=0.156Fl₀。现将支座弯矩调整为M_a=-0.15Fl₀，则支座弯矩调幅系数β=（0.188～0.15）Fl₀/0.188Fl₀=0.202。此时，跨中弯矩值M₁′可根据静力平衡条件确定。设M₀为按简支梁确定的跨中弯矩，由图2-19c可求得

可见调幅后，支座负弯矩降低了，而跨中正弯矩增大了。

2）原则。综合考虑影响塑性内力重分布的影响因素后，我国《混凝土结构设计规范》提出了下列设计原则：①弯矩调幅后引起结构内力图形和正常使用状态的变化，应进行验算，或有构造措施加以保证；②受力钢筋宜采用HRB335级、HRB400级热轧钢筋，混凝土强度等级宜在C20～C45范围内，截面的相对受压区高度ξ应满足0.10≤ξ≤0.35。

图2-19 弯矩调幅法中力的平衡

3）步骤。

①用线弹性方法计算，并确定荷载最不利布置下的结构控制截面的弯矩最大值M_e。

②采用弯矩调幅系数β降低各支座截面弯矩，即设计值按下式计算

M=（1-β）M_e （2-28）

其中β值不宜超过0.2。

③结构的跨中截面弯矩值取弹性分析所得的最不利弯矩值和按下式计算值中之较大值

式中 M₀——按简支梁计算的跨中弯矩设计值；

M^l、M^r——连续梁或连续单向板的左、右支座截面弯矩调幅后的设计值。

④调幅后，支座和跨中截面的弯矩值均应不小于M₀的1/3。

⑤各控制截面的剪力设计值按荷载最不利布置和调幅后的支座弯矩由静力平衡条件计算确定。

（2）弯矩调幅法计算等跨连续梁、板内力

1）等跨连续梁。在相等均布荷载和间距相同、大小相等的集中荷载作用下，等跨连续梁各跨跨中和支座截面的弯矩设计值M可分别按下列公式计算：

承受均布荷载时 M=α_m（g+q）l²₀ （2-30）

承受集中荷载时 M=ηα_m（G+Q）l₀ （2-31）

式中 g——沿梁单位长度上的恒荷载设计值；

q——沿梁单位长度上的活荷载设计值；

G——一个集中恒荷载设计值；

Q——一个集中活荷载设计值；

α_m——连续梁考虑塑性内力重分布的弯矩系数，按表2-2采用；

η——集中荷载修正系数，按表2-3采用；

l₀——计算跨度。

表2-2 连续梁和连续单向板考虑塑性内力重分布的弯矩系数α_m

注：计算支座弯矩时应取相邻两跨中的较长跨度值，计算跨中弯矩时应取本跨长度。

表2-3 集中荷载修正系数η

等跨连续梁在均布荷载和间距相同、大小相等的集中荷载作用下，等跨连续梁支座边缘的剪力设计值V可分别按下列公式计算：

均布荷载 V=α_v（g+q）l_n （2-32）

集中荷载 V=α_vn（G+Q） （2-33）

式中 α_v——连续梁考虑塑性内力重分布的剪力系数，按表2-4采用；

n——跨内集中荷载的个数；

l_n——净跨度。

表2-4 连续梁考虑塑性内力重分布的剪力系数αv

2）等跨连续板。承受均布荷载的等跨连续单向板，各跨跨中及支座的弯矩设计值可按下式计算

M=α_m（g+q）l²₀ （2-34）

式中 g——沿板跨单位长度上的恒荷载设计值；

q——沿板跨单位长度上的活荷载设计值；

α_m——连续单向板考虑塑性内力重分布的弯矩系数，按表2-2采用。

需要说明的是，对于相同均布荷载作用下的等跨度、等截面连续梁、板的弯矩系数αm和剪力系数α_v，是根据5跨连续梁、板，活荷载和恒荷载比值q/g=3，弯矩调幅系数大致为15%～25%等条件下确定的。

（3）弯矩调幅法计算不等跨连续梁、板内力 相邻两跨的长跨与短跨之比小于1.10的不等跨连续梁、板，在均布荷载（q/g=1/3～5）或间距相同、大小相等的集中荷载作用下，各跨跨中及支座截面的弯矩设计值和剪力设计值仍可按上述等跨连续梁、板的规定确定。对于不满足上述条件的不等跨连续梁、板或各跨荷载值相差较大的等跨连续梁、板，现行规程提出了简化方法。

1）不等跨连续梁。按下列步骤进行计算：

①按荷载的最不利布置，用弹性分析方法分别求出连续梁各控制截面的弯矩最大值M_e。

②在弹性分析的基础上，降低各支座截面的弯矩，其调幅系数β不宜超过0.2；在进行正截面受弯承载力计算时，连续梁各支座截面的弯矩设计值可按下式计算：

当连续梁搁支在墙上时 M=（1-β）M_e （2-35）

当连续梁两端与梁或柱整体连接时

M=（1-β）M_e-V₀b/3 （2-36）

式中 V₀——按简支梁计算的支座剪力设计值；

b——支座宽度。

③连续梁各跨中截面的弯矩不宜调整，其弯矩设计值取考虑荷载最不利布置并按弹性方法求得的最不利弯矩值和按式（2-29）算得的弯矩之间的大值。

④连续梁各控制截面的剪力设计值，可按荷载最不利布置，根据调整后的支座弯矩用静力平衡条件计算，也可近似取考虑活荷载最不利布置按弹性理论算得的剪力值。

2）不等跨连续板。按下列步骤进行计算：

①从较大跨度板开始，在下列范围内选定跨中的弯矩设计值：

边跨

中间跨

②按照所选定的跨中弯矩设计值，由静力平衡条件确定较大跨度的两端支座弯矩设计值，再以此支座弯矩设计值为已知值，重复上述条件和步骤确定邻跨的跨中弯矩和相邻支座的弯矩设计值。