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结构力学：高效刚架计算方法

2023-08-30 理论教育版权反馈

【摘要】：先处理的直接刚度法计算刚架的步骤可概括如下：划分单元并对结点和单元进行编号，选取整体坐标系和单元坐标系，同时对未知结点位移和相应的结点荷载进行编码。对式（9-5)单元坐标系下的单元刚度矩阵进行坐标变换或按式直接列出各单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵，根据变形协调条件和位移边界条件写出各单元的定位向量，进行换码。将各单元刚度矩阵中有关元素按定位向量所示非“0”的行码和列码送到结构刚度矩阵中的相应位置。

先处理的直接刚度法计算刚架的步骤可概括如下：

（1）划分单元并对结点和单元进行编号，选取整体坐标系和单元坐标系，同时对未知结点位移和相应的结点荷载进行编码。

（2）建立按总码顺序排列的自由结点位移列向量和相应的综合结点荷载列向量（包括对非结点荷载的处理)。

（3）对式（9-5)单元坐标系下的单元刚度矩阵进行坐标变换或按式（9-29）直接列出各单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵，根据变形协调条件和位移边界条件写出各单元的定位向量，进行换码。

（4）将各单元刚度矩阵中有关元素按定位向量所示非“0”的行码和列码送到结构刚度矩阵中的相应位置。如果同一位置上有多个元素，则应将这些元素叠加，最终得到结构刚度矩阵。

（5）从结构刚度方程F = KΔ 中求解自由结点位移。

（6）利用单元定位向量将杆端位移用相应的结点位移表示，计算在结构坐标系下的单元杆端力，再按式（9-15)变换为在单元坐标系下的单元杆端力。若单元受非结点荷载作用，则还需叠加上相应的固端力才可得到实际的杆端力。

【例题 9-4】试求如图 9-7（a）所示刚架的内力。设各杆为矩形截面，杆长l =4 m，bh=0. 24 m2，E=30 GPa ，I=0. 012 8 m4。忽略轴向变形。

解：（1）如图 9-7（a）所示，将刚架划分为①、②、③三个单元，节点编号为1、2、3、4。在不考虑轴向变形的情况下，结点2 和结点3 的水平线位移相等，故独立的结点线位移只有一个 Δ1。所以结点位移分别为Δ1，Δ2，Δ3。单元①中i → 1，j → 2， α1= 90°；单元②中i → 2，j→3， α2= 0°；单元③中i → 4，j→3， α3= 90°。

（2）结点位移列向量为：

（3）将单元①上的非结点荷载转化为等效结点荷载后，与原有的结点荷载相叠加，得相应的综合结点荷载列向量如下：

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图9-8

（4）建立整体坐标系下的单元刚度矩阵，确定单元定位向量并换码。

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对于单元②,由于 Δ1只会使对齐②发生刚体平移而不引起内力，所以单元②的杆端内力只和结点2、3 的两端转角 Δ2、Δ3有关。因此在确定单元定位向量时，Δ1的总码应换为“0”。故单元②的定位向量应为：

故有

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（5）将上面三个单元刚度矩阵中各个元素，按定位向量表示的非“0”行码和列码，用直接刚度法可得到结构刚度矩阵为：

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结构刚度方程为：F =KΔ，即

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（6）解刚度方程。

利用Δ =K -1F 直接解刚度方程可得

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（7）计算各单元的杆端力。

单元①：

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按式（9-9）转换为单元坐标系下的杆端力，得

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单元②：因 α2=0 ，故单元坐标系下的杆端力与整体坐标系下的杆端力相同，有

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同理可得单元③单元坐标系下的杆端力为

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（8）根据所得各单元的杆端弯矩和剪力作出内力图，根据剪力图作轴力图，内力图如图9-8（b）、（c）、（d）所示。