单元刚度矩阵是基于杆单元局部坐标系的，以杆轴线为x 轴，这样所有的单元都具有相同的单元刚度矩阵的形式。可以采用坐标变换的方法，将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换至整体坐标系中。图9-4整体坐标系中的单元刚度矩阵K e。......
2023-08-30
连续梁整体刚度矩阵-结构力学
【摘要】：λ e中的元素决定了单元刚度矩阵中的各元素在结构刚度矩阵中的位置，故将 λ e称为单元 e 的定位向量。对于式和式有 试用直接刚度法建立如图 9-6 所示连续梁的结构刚度矩阵，并计算各杆的杆端弯矩。图9-6单元刚度矩阵和定位向量。
结构计算必须满足平衡条件和变形协调条件。矩阵位移法在单元分析的基础上，利用结构的变形协调条件和平衡条件建立结构刚度方程，得到结构刚度矩阵。研究结构刚度矩阵形成的规律，便可直接形成结构刚度矩阵的方法。
如图9-5 所示两跨连续梁分为两个单元，三个结点，单元编号为①、②，结点编号为 1～3，采用图示整体坐标系，其中单元坐标系与整体坐标系相一致。现取结构的结点位移列向量为：
其中 Δ（ii=1, 2, 3）代表第 i 个结点位移，以顺时针为正。
图9-5 连续梁
相应的结点荷载是附加约束上的集中力偶 F1， F2， F3。它们构成整体坐标系下结点荷载的列向量：
其中Fi代表与第i 个结点角位移相应的荷载，与Δi方向一致时为正。下标中的1，2，3是对结点位移和结点荷载在整体坐标系中统一编排的数码，称为总码。
为了导出结点荷载列向量 F 与位移列向量Δ 之间的关系式，应考虑结点的力矩平衡方程条件和结点与杆端的变形协调条件。取如图9-5 所示结点为隔离体，建立相应的平衡方程。即
写成矩阵：
对于单元①：
其单元①刚度矩阵为：
式中标注在单元刚度矩阵旁用整体码表示行码和列码。
对于单元②：
其单元②刚度矩阵为：
对结构进行整体分析，引入位移条件，即
引入平衡条件，即
将式（9-21）和式（9-23）代入式（9-25）可得
将上述方程写成矩阵的形式，即
简写为：
式中的K 就是结构刚度矩阵，即
由式（9-29）可以看出，结构刚度矩阵中的各元素都是由各单元刚度矩阵的相关元素组成，单元刚度矩阵元素在结构刚度矩阵中的位置，由单元在整体坐标系中所对应的总码决定。根据元素所对应的总码，可将单元刚度矩阵中的相关元素直接形成结构刚度矩阵。
上述先对单元刚度矩阵换码，再按总码表示的列码和行码分别将各元素置于结构刚度矩阵的相应位置，直接形成结构刚度矩阵的方法称为直接刚度法。而在形成结构刚度矩阵之前，已考虑结构位移边界条件（如结点线位移为零，固定端转角为零）的直接刚度法称为先处理法。
将所得结构刚度矩阵代入式（9-28)，得结点位移，即
根据上式求得结点位移后，根据变形协调条件将杆端位移代之以相应的结点位移，即可计算出各单元的杆端弯矩。
各单元刚度矩阵换码后才能用直接刚度法形成结构刚度矩阵。换码后矩阵上方从左往右，右侧从上往下，总码的排列是完全相同的，所以可将其写成列向量的形式并用 λ e表示。 λ e中的元素决定了单元刚度矩阵中的各元素在结构刚度矩阵中的位置，故将 λ e称为单元 e 的定位向量。
对于式（9-21）和式（9-23）有
【例题 9-2】 试用直接刚度法建立如图 9-6 所示连续梁的结构刚度矩阵，并计算各杆的杆端弯矩。
解：（1）编号。
单元编号为①、②；结点位移分量的总码分别编号为 0、1、2。左端为固定端支座，结点无转角位移，编号为0；杆件轴线的箭头表示单元坐标
的方向。
图9-6
（2）单元刚度矩阵和定位向量。
单元①的刚度矩阵及定位向量为：
单元②的刚度矩阵及定位向量为：
（3）整体刚度矩阵为：
（4）荷载列向量为：
（5）基本方程：
即
（6）解方程可得：
根据各单元定位向量，从解得结点位移中确定相应的杆端位移，根据单元①和②的刚度矩阵，确定单元①和②的杆端弯矩如下。
单元①：
单元②：
所得结果满足结点 2 的力矩平衡条件，故知计算结果正确。
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