根据力法的基本原理，力法计算超静定结构的方法和步骤可归纳如下：确定超静定次数，并选取适当的基本结构。应当注意的是，在选取基本结构时，若解除多余约束的方案不同，则将会得到不同形式的基本结构，虽然其力法典型方程的基本形式相同，超静定结构的求解步骤和最终结果亦相同，但计算工作量可能会有很大的差异。以下分别举例说明用力法计算各类超静定结构的具体计算方法。......
2023-08-30
结构力学中的7.4位移法典型方程及算例
【摘要】：位移法方程可写为式（7-5）即为位移法方程的一般形式，不论结构是什么形式，位移法方程的形式是不变的，故式（7-5）称为位移法典型方程。由以上的分析可知，位移法方程的实质是一组平衡方程。在位移法计算中，只需做平衡条件校核。
图7-8
现以图 7-8（a）所示刚架来进一步说明位移法的基本原理。图中虚线表示刚架由于荷载作用而产生的变形曲线，刚架有三个位移未知量，其中 Z1和 Z2分别表示结点 C 和结点 D 的角位移未知量；Z3为结点 C 和结点 D 的线位移未知量。
同力法一样，在位移法中，需要对原结构做一些适当的修改，使它变得易于分析。先设想在原结构的结点 C 和结点 D 上装上阻止转动的刚臂约束
，而且在结点 D 上装上一个阻止移动的支杆约束，如图 7-8（b）所示。则原结构中各杆就变成彼此独立的单跨超静定梁。这些单跨超静定梁是位移法分析的基础，称为位移法的基本结构。考虑到原结构实际上存在结点位移 Z1、Z2和 Z3，因而，迫使各附加约束产生与原结构完全相同的位移，则基本结构的全部内力、反力和变形与原结构完全一致。同时注意到原结构实际上不存在附加约束，因此，基本结构在荷载和各结点位移共同作用下，各附加约束的反力都应等于零，即R1=0,R2=0,R3= 0。
为了确定出各结点的位移未知量，根据叠加原理，可以把作用于基本结构上的荷载和各结点位移分开来计算，然后再叠加。图 7-8（c）、（d）、（e）、（f）分别表示基本结构在荷载及结点位移单独作用时的情况，图中 R1F、R2F和R3F表示荷载单独作用时在各附加约束处产生的反力。r11、r21、r31表示 Z1＝1 单独作用时在各附加约束处产生的反力，由于还不知道角位移的转向，通常假定为顺时针方向，线位移方向可以任意设定，这些反力的方向假定与所在结点的位移方向一致，以此类推，可得 Z2＝1 及Z3＝1 单独作用时相应附加约束处的约束反力。荷载和各结点单位位移单独作用下各附加约束反力可根据图7-8 中荷载弯矩图MF及各单位位移弯矩图
由平衡条件求得。
将图 7-8（c）、（d）、（e）、（f）叠加，即可把基本结构的变形状态和受力状态复原到与原结构的状态完全一致，于是将上述图中的各相应附加约束的反力相加，就得到各附加约束的总反力。即
在上式中，系数 rij表示 Zj＝1 单独作用时在第 i 个附加约束上产生的反力，RiF称为自由项，表示荷载单独作用时，在第 i 个约束处产生的反力。rij和 RiF均取与附加约束所设的位移Zi方向一致者为正，相反者为负。
上式中第一和第二式的物理意义为原结构结点 C 和结点 D 隔离体［见图 7-8（b）］的力矩平衡条件： R1=MCA+MCD= 0； R2=MDC+MDE= 0。第三式的物理意义为原结构截面隔离体［见图 7-8（b）］横梁 CD 水平方向力的平衡条件：R3＝FSCA＋FSDB－F＝0
图7-9
同理，可求得方程的其他系数和自由项如下：
代入位移法方程即可求得位移未知量。
求解有n 个位移基本未知量的超静定结构时，应设置n 个附加约束，而每一个附加约束分别对应一个结点或截面平衡条件，相应地也就有n 个平衡条件，据此可以建立n 个位移法方程，从而可以联立解出全部位移未知量。位移法方程可写为
式（7-5）即为位移法方程的一般形式，不论结构是什么形式，位移法方程的形式是不变的，故式（7-5）称为位移法典型方程。由以上的分析可知，位移法方程的实质是一组平衡方程。
式中rij是由单位位移Zj=1 引起的沿Zi方向的附加约束反力，称为刚度系数；RiF是由荷载引起的沿Zi方向的附加约束反力，称为自由项。当这些附加约束反力与所设未知量方向一致时取正号，反之则为负。上述符号中的第一个下标表示与未知位移序号相应的附加约束反力序号，第二个下标则表示产生该项附加约束反力的原因。所有这些附加约束反力均可以根据隔离体平衡条件求得。位于方程左上方r11至右下方rnn的一条主对角线上的系数 rii称为主系数，主对角线两侧的其他系数rij（i ≠ j）则称为副系数。主系数代表由单位位移 Zi＝1 作用所引起在 Zi自身方向上的约束反力，它必定与该单位位移的方向一致，故是恒正的；而副系数代表由单位位移 Zj＝1 的作用所引的 Zi方向的约束反力，它可能与所设定的 Zi同向、反向，或者是无该项约束反力发生，所以它可能为正、为负或为零。根据反力互等定理有
式（7-5）的位移法典型方程也可写成如下的矩阵形式：
式中r 称为刚度矩阵，其矩阵元素由式（7-5）中的全部刚度系数rij项构成，由式（7-6）可知，r 为对称矩阵，Z 为未知位移向量；RF为荷载引起的附加约束力向量。
位移法方程是一个线性代数方程组，求解这一个方程组可以得到全部基本未知量，即全部结点位移。此时，结构杆件的杆端弯矩可根据转角位移方程直接求得，也可根据叠加原理用下式计算
求出刚架各杆端的弯矩后，利用平衡条件即可求出各杆端的剪力和轴力，并绘出剪力图和轴力图。
最后，应对所求得的内力图进行校核，通常只进行平衡条件的校核，其校核方法与力法相同。
综上所述，可归纳出位移法计算超静定结构的步骤如下：
（1）确定基本未知量和基本结构。
（2）建立位移法方程。
（3）绘出基本结构上的单位弯矩图
图与荷载弯矩图MF图，利用平衡条件求系数和自由项。
（4）解方程求出基本未知量。
（5）由
叠加绘出最后弯矩图，进而绘出剪力图和轴力图。
（6）校核。
【例题 7-1】 试用位移法计算图 7-10（a）所示刚架，并绘出内力图。
解：（1）确定基本未知量和基本结构。
此刚架只有一个刚结点E，无结点线位移。因此，基本未知量为结点E 处的转角位移 Z1，基本结构如图 7-10（b）所示。
（2）建立位移法方程。由E 结点的附加刚臂约束处力矩总和为零的条件∑ME=0，建立位移法方程：
图7-10
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得：
杆端正值弯矩为顺时针方向，负值弯矩为逆时针方向，由此确定各截面的弯矩纵标，从而绘出刚架的最终弯矩图，如图 7-10（e）所示。
利用杆件和结点的平衡条件可绘出 FS图、 FN图，分别如图 7-10（f）、（g）所示。
（6）校核。在位移法计算中，只需做平衡条件校核。校核该弯矩图时，结点 E 应是四杆两个方向的弯矩平衡。
在图 7-10（e）中取结点 E 为隔离体，验算其是否满足平衡条件∑ME=0。由
可知计算无误。
【例题7-2】 用位移法计算图 7-11（a）所示连续梁，并绘制弯矩图。EI＝常数。
图7-11
解：（1）取结点B 的转角 Z1为基本未知量。取基本结构如图 7-11（b）所示。
（2）列出位移法方程。
（4）带入位移法基本方程。
求解得
（5）绘制弯矩图。
绘制弯矩图如图 7-12 所示。
图7-12
【例题7-3】 计算图 7-13（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
图7-13 （弯矩图，单位：kN·m）
解：（1）结构的A、B 两结点各有一角位移，没有线位移。基本结构如图 7-13（b）所示，基本未知量为角位移 Z1和Z2。
（2）建立位移法方程。根据基本结构每个结点处附加刚臂的约束力矩总和为零的条件，建立位移法方程。
从MF图中分别取结点 A、结点 B 为隔离体，可求得
（4）将以上系数代入位移法典型方程并求解得：
解得：
（5）绘制最终弯矩图。
绘出弯矩图，如图 7-13（f）所示。
【例题7-4】 用位移法计算图 7-14（a）所示有侧移的刚架，并绘制弯矩图。
解：（1）此刚架具有一个独立转角 Z1和一个独立线位移 Z2。在结点 C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图 7-14（b）所示的基本结构。
（2）建立位移法典型方程。
图7-14
（4）将以上系数带入位移法典型方程，并求解。
需要注意的是，角位移单位为 kN·m2/EI，线位移单位为 kN·m3/EI。
（5）绘制弯矩图。
绘出弯矩图，如图 7-14（f）所示。
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