根据叠加原理，式可写成以下形式：图14-12位移条件式就是为求解多余未知力X1和X2所需要建立的力法方程。对于高次超静定问题，其力法方程也可类似推出。当原结构在去掉多余约束处的已知位移为零时，其力法方程为方程中的系数称为柔度系数，位于主对角线上的系数δii称为主系数，在主对角线两侧的系数δij称为副系数，Δ1P称为自由项。由于基本体系是静定的，所以力法方程中各系数和自由项都可以按照上一单元位移计算的方法求出。......
2023-06-16
结构力学：力法典型方程实例
【摘要】：下面结合三次超静定的刚架来进一步说明用力法解多次超静定结构的一般原理和力法典型方程的建立。上述方程组在组成上具有一定的规律性，不论超静定结构的类型、超静定次数以及所选的基本结构如何，所得的方程都具有式（6-2）的形式，故称之为力法的典型方程。力法方程最后一项位移 ΔiF称为自由项。
上面我们根据一次超静定结构的计算说明了力法的基本原理，力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法的基本方程，以求解多余未知力。对于多次超静定结构，其计算原理与一次超静定结构完全相同。下面结合三次超静定的刚架来进一步说明用力法解多次超静定结构的一般原理和力法典型方程的建立。
图 6-9（a）所示的刚架为三次超静定结构，用力法求解时，去掉B 处的三个多余约束，代之以相应的多余未知力X1、X2、X3，则得到图 6-9（b）所示的基本结构。在原结构中，由于B 端为固定端，所以没有水平位移、竖向位移和转角位移。因此，基本结构在荷载和多余未知力 X1、X2和 X3共同作用下，在B 端产生的X1、X2和X3方向上的位移Δ1、Δ2、Δ3都应等于零。即：
由叠加原理，在基本结构上可分别求出位移Δ1、Δ2、Δ3。设基本结构在单位力X1＝1 单独作用下，B 点沿X1、X2和 X3方向所产生的位移分别为δ11、δ21和δ31［见图 6-9（c）］，事实上，X1并不等于 1，因此将图 6-9（c）各方向的位移分别乘以 X1，即得X1作用时B 点的水平位移δ11X1、竖向位移δ21X1和转角位移δ31X1。同理，由图6-9（d）得X2单独作用于基本结构时B 点的水平位移δ12X2、竖向位移δ22X2和转角位移δ32X2。由图 6-9（e）得 X3单独作用于基本结构时 B 点的水平位移 δ13X3、竖向位移 δ23X3和转角位移δ33X3。在图 6-9（f）中，Δ1F、Δ2F、Δ3F分别表示当荷载单独作用于基本结构上B 点的水平位移、竖向位移和转角位移。
图6-9
根据叠加原理，基本结构在多余未知力X1、X2、X3及荷载F 共同作用下产生的位移，等于它们分别作用时所产生的位移总和。即基本结构应满足的位移条件表示为：
式（6-1）通常称为力法典型方程，方程中每一式的物理意义是：基本结构中在各多余未知力和已知荷载共同作用下，每一个多余未知力方向上的位移应与原结构中相应的位移相等。
对于图 6-9 所示的刚架，力法基本结构的选取方案并不是唯一的，在图 6-10 中给出了其他形式的基本结构，这时力法方程在形式上与式（6-1）完全相同。但由于 X1、X2和 X3的实际含义不同，因而变形协调条件的含义也不同。此外，还须注意，基本结构必须是几何不变的，瞬变体系不能用作基本结构。
对于 n 次超静定结构，用力法分析时，可去掉n 个多余约束得到静定的基本结构，具有n 个多余未知力X1，X2，…，Xn，相应地具有 n 个位移条件，可建立 n 个方程，若 n 个多余约束方向的位移均已知为零（仅有荷载作用的情况），则力法典型方程可表达为：
图6-10
或简记为：
也可用矩阵表示为：
上式中由δij柔度系数组成的矩阵称为柔度矩阵，它是一个对称矩阵，因此，力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法。
上述方程组在组成上具有一定的规律性，不论超静定结构的类型、超静定次数以及所选的基本结构如何，所得的方程都具有式（6-2）的形式，故称之为力法的典型方程。
在此方程组中，主斜线上未知力的系数 δii称为主系数，也称为主位移，其方向总是与单位未知力Xi＝1 所设方向一致，所以总是正的，且不等于零。在主斜线两侧的未知力前的系数 δij称为副系数，由位移互等定理可知δij＝δji。力法方程最后一项位移 ΔiF称为自由项。副系数及自由项的具体数值可能为正号，或负号，或为零。
上述所有系数和自由项均可用位移计算公式求得。若超静定结构含有受弯杆件及仅受轴力的链杆，而忽略受弯杆件的剪切变形和轴向变形，则有
式中，
、
、MF和
、
、 FNF分别代表Xi= 1、Xj= 1及荷载单独作用于基本结构时产生的弯矩和轴力。
将求得的各系数和自由项代入力法方程（6-2），求解联立线性方程组，即可求得多余约束力X1，X2，…，Xn。基本结构在相应的多余约束力及荷载共同作用下，运用平衡条件可求出所有截面的内力，它就是原超静定结构的全部解答。另外，也可利用叠加原理，利用计算过程中已得的基本结构受各力单独作用下的内力分布（Mi、MF等），求出原超静定结构任一截面的内力，例如任一截面的最终弯矩值为：
再根据平衡条件可求得剪力和轴力。
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