虚功原理和单位力法解析-结构力学

2023-08-30 理论教育版权反馈

【摘要】：变形体系的虚功原理可表述为：变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所做的虚功总和外W ，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功总和U变。虚功原理更一般地表示为：由以上可见，虚功原理需要涉及两个状态，取一个状态的外力和内力，取另一个状态的位移和变形。如果位移是虚设的，则称为虚位移原理；如果外力是虚设的，则称为虚力原理。

设虚功亦对应有虚应变能，也叫内力虚功，根据能量守恒定律，外力的虚功等于内力的虚功，即

或

式（5-15）即为外力虚功与虚应变能的关系，称为虚功原理，亦称之为虚功方程。变形体系的虚功原理可表述为：变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所做的虚功总和外W ，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功(即虚应变能)总和U变。虚功原理更一般地表示为：

由以上可见，虚功原理需要涉及两个状态，取一个状态的外力和内力，取另一个状态的位移和变形。因此要应用这个原理，则必须有两个状态。而在实际应用时，往往只有一个状态，即实际状态，另一个状态则是根据所研究问题的需要而假设的，称为虚拟状态。如果位移是虚设的，则称为虚位移原理；如果外力是虚设的，则称为虚力原理。

现欲求位移Δ，可在欲求位移处沿位移Δ 的方向虚设单位力F = 1，沿其作用方向相应的实位移为Δ，则由式［5-15（b）］，有

则得：

式（5-17）就是结构力学中计算结构位移的一般公式。不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构。式中杆微段的变形 du、dv、dθ 可以是荷载引起的，也可以是由其他产生结构位移的因素引起的。

在应用上式计算位移时，需沿所求位移的方向虚设单位力，因此也称为单位力法。为方便起见，采用广义力和广义位移的概念，把做功的力统称为广义力，相应的位移称为广义位移，如广义力是集中力，则相应的广义位移为线位移；如广义力为力矩，则相应的广义位移为角位移。广义力与广义位移的乘积，其量纲为功的量纲。总之，在虚设单位力时必须注意广义力与广义位移相对应的原则。

对线弹性体系，在荷载作用下，杆件微段的变形可由材料力学给出的公式计算：

其中，剪力FS 在剪切变形 dv 上所做的功与截面形式有关，用系数 k 反映截面形式的影响。

由此可得结构在荷载作用下位移计算的公式：

虚功原理和单位力法解析-结构力学

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