结构力学中影响线应用的实例

2023-08-30 理论教育版权反馈

【摘要】：式中，y0为合力FR位置对应的影响线的纵坐标。以在实际应用中较为常见的三角形形式的影响线为例，来说明确定最不利荷载位置的方法。图 4-15表示一组间距不变的移动集中荷载，图 4-15表示某一量值 S 的影响线。于是，我们得到一条重要的结论：在荷载总数不变时，量值S 取得极值的必要条件是有一个集中荷载恰好作用于影响线的顶点。一般来说，S 的最不利值是在数值较大而又比较密集的集中荷载作用于影响线的顶点时发生的。

影响线研究移动荷载作用时结构内力的变化，绘制影响线的主要目的是，应用影响线来确定移动荷载作用时对于某一量值的最不利影响，其用途主要有：① 在荷载位置已经确定的情况下，用来计算总的影响量值；② 在荷载位置未定的情况下，用来确定最不利的荷载位置。

1.应用影响线计算影响量

如果结构中某指定量值 S（可以是反力、内力等）的影响线已作出，可根据叠加原理利用影响线求出结构在各种固定荷载作用下的影响量值S。

（1）集中荷载作用下的影响量计算。

如图 4-9（a）所示，有一组集中荷载F1、F2、F3…Fn作用于确定的位置，设某量值 S（内力或反力）的影响线已绘出，与各荷载相对应的影响线纵标分别为 y1、y2、y3…yn，如图 4-9（b）所示。此时，集中荷载组所产生的总的影响量 S 可由叠加原理求得：

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上式中，Fi向下为正，纵坐标yi在基线上为正，在基线下为负。

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图4-9

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图4-10

当若干个集中荷载分布在影响线的同一条直线段时（见图 4-10），可根据合力矩定理来简化计算，用它们的合力来代替计算影响量。

式中，y0为合力FR位置对应的影响线的纵坐标。读者可仿图乘法推导思路证明上述结论。

（2）分布荷载作用下的影响量计算。

设在结构的某一段 AB 上作用有分布荷载 qx［见图 4-11（a）］，利用S 影响线［见图 4-11（b）］来计算其影响量时，可将 qxdx 看作一个集中荷载，在影响线的AB 区段内积分可得

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若是均布荷载［见图 4-12（a）］，则有

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式中A 代表均布荷载分布范围AB 段内的影响线面积，如图 4-12（b）中阴影部分所示，应取其代数和。

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图4-11

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图4-12

因此，若要计算集中荷载组和分布荷载同时作用下的某一内力或反力，可叠加为

或为

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【例题 4-4】利用影响线求图 4-13（a）所示伸臂梁在图示载荷作用下 C 截面弯矩 MC和剪力 FSC的值。

解：（1）求弯矩MC，作出MC的影响线［见图 4-13（b）］，可求得集中荷载对应的影响线的纵坐标，由叠加原理，得

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图4-13

2.确定最不利的荷载位置

如果荷载移动到某一个位置，使某量值 S 达到最大值，则此荷载位置称为该量值的最不利荷载位置。以在实际应用中较为常见的三角形形式的影响线为例，来说明确定最不利荷载位置的方法。

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图4-14

（1）移动荷载组。

当S 的影响线为三角形时［见图 4-14（c）］，如图 4-14（a）所示，如果移动荷载只有一个集中荷载，则根据式（4-1），使S 产生（正或负）最大值的最不利荷载位置，是这个集中荷载作用在影响线的纵坐标最大的三角形顶点位置处。然而，当有一组间距不变的集中荷载在梁上移动时［见图4-14（b）］，则根据式（4-1），最不利荷载位置一般是数值较大且排列紧密的荷载位于影响线最大纵坐标处附近。要具体确定最不利荷载位置，首先要分析什么样的荷载作用位置可能使量值S 取得极值，这个荷载位置称为荷载的临界位置，然后再从这些临界位置中确定最不利位置。

图 4-15（a）表示一组间距不变的移动集中荷载，图 4-15（b）表示某一量值 S 的影响线。影响线两直线段的倾角分别为 α、β，均以逆时针方向为正，当荷载组移动一微小距离Δx 时，S 的变化量为

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式（b）中，括号内分别代表作用于左直线和右直线部位的移动荷载。

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图4-15

量值S 取得极值的条件是当荷载组做微小移动时ΔS 发生变号。由式（b）可以看出，倘若在荷载移动过程中作用于左直线和右直线部位的荷载数量保持不变，则式（b）括号内将为常数，这样就不可能发生ΔS 变号的情况，或者说，要使ΔS 变号，就必须有一个集中荷载越过影响线的顶点。于是，我们得到一条重要的结论：在荷载总数不变时，量值S 取得极值的必要条件是有一个集中荷载恰好作用于影响线的顶点。

如果在荷载移动过程中ΔS 由正值转为负值，则量值S 取得一个极大值。假设S 取得极大值发生在某集中荷载 Fi作用于影响线顶点时，则该集中荷载便称为量值S 的一个临界荷载，记为 Fcr，其对应的荷载位置就称为临界位置，若以∑F左和∑F右分别表示 Fcr以左和以右的荷载之和，则由式（b）可得当为三角形影响线时，使量值S 取得极大值的临界荷载判别式为：

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上式表明：临界位置的特点是有一集中荷载 Fcr作用于影响线的顶点，将 Fcr计入哪一侧（左侧或右侧），则哪一侧荷载的平均集度就大些。

利用式（4-6）虽可确定临界荷载，但有时临界荷载可能不止一个，此时可将相应的极值分别算出，其中最大的极值就是量值S 的最不利值，而相应的荷载位置即为移动荷载组的最不利位置。一般来说，S 的最不利值是在数值较大而又比较密集的集中荷载作用于影响线的顶点时发生的。因此，在按式(4-6)试算之前可先通过直观判断排除部分荷载，从而减轻计算工作。

综合以上内容，现将确定最不利荷载位置的步骤归纳如下：

① 最不利荷载位置一般是数值较大且排列紧密的荷载位于影响线最大纵标处的附近，由此判断可能的临界荷载。

② 将可能的临界荷载放置于影响线的顶点，判定此荷载是否满足式(4-6)，若满足，则此荷载为临界荷载 Fcr，荷载位置为临界位置；若不满足，则此荷载位置就不是临界位置。

③ 对每个临界位置求出一个极值，然后从各个极值中选出最大值。与此相对应的荷载位置即为最不利荷载位置。

应当注意，在荷载向右或向左移动时，可能会有某一荷载离开了梁，在利用临界荷载判别式(4-6)时，∑F左和∑F右中应不包含已离开了梁的荷载。

（2）均布荷载。

如果移动荷载是长度不定、可以任意分布的均布荷载，则根据式（4-4），最不利荷载位置是在影响线［见图 4-16（a）］的正值部分布满荷载（求最大正值），如图 4-16（b）所示；或在负值部分布满荷载（求最大负值），如图 4-16（c）所示。

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