静定平面刚架的内力计算同梁一样，仍是用截面法截取隔离体，然后用平衡条件求解。根据荷载情况，将刚架分解成若干杆段，由平衡条件求出杆端内力。该杆上作用有一集中荷载，可以分为CE和EB两个无荷载区段，用截面法求出下列控制截面的弯矩：便可以绘制出该杆弯矩图。根据荷载和已经求出的反力，可以用截面法求出杆件各个控制截面的剪力和轴力，从而绘制出整个钢架的剪力图和轴力图，如图12-18、所示。......
2023-06-16
结构力学：静定和超静定平面刚架的计算方法
【摘要】：杆件轴线及荷载作用线均处在同一平面内的刚架，称为平面刚架。在工程中实际应用的刚架，多数是超静定的，静定刚架较少采用。图3-112.静定平面刚架计算静定刚架的内力通常有弯矩、剪力和轴力，其计算方法原则上与静定梁的计算相同。
1.静定刚架的组成
刚架是由梁和柱等用刚结点连接而成的结构，其几何不变性主要依靠结点的刚性连接来维持，因而无须斜向杆件。这样，不但简化了结构形式，同时也更有利于建筑空间的利用。同时，由于有刚结点的存在，削弱了弯矩的峰值，使杆件的弯矩分布更趋于均匀。
杆件轴线及荷载作用线均处在同一平面内的刚架，称为平面刚架。在工程中实际应用的刚架，多数是超静定的，静定刚架较少采用。但静定刚架分析是超静定刚架计算的必要基础。
静定平面刚架常见的形式有悬臂刚架，如图 3-11（a）所示；简支刚架，如图 3-11（b）所示；三铰刚架，如图 3-11（c）所示等。
图3-11
2.静定平面刚架计算
静定刚架的内力通常有弯矩、剪力和轴力，其计算方法原则上与静定梁的计算相同。在静定刚架计算中，一般也需要对结构的组成情况进行分析，以便了解结构的具体特点及各部分之间的关系，应遵循先计算附属部分，后计算基本部分，即按几何组成相反的顺序，依次计算。
当刚架与基础按两刚片规则组成时，支座反力只有三个，容易求得；当刚架与基础按三刚片规则组成时（如三铰刚架），支座反力有四个，除考虑结构整体的三个平衡方程外，还需再取刚架的左半部（或右半部）为隔离体建立一个平衡方程，方可求出全部反力。反力求出后，即可逐杆段绘制内力图。
【例题3-4】 计算图 3-12（a）所示静定悬臂刚架的内力，并绘制内力图。
解：（1）求支座反力。
由整体平衡条件得：
（2）计算杆端弯矩，绘制弯矩图。作弯矩图时，各杆逐一考虑，在刚架中，弯矩图绘于杆件受拉一侧。
BC 杆：
BC 为悬臂梁。B 端上侧边受拉，弯矩纵坐标绘于B 点上侧。C 端为自由端，弯矩等于零，将两点纵坐标连以直线，即得BC 杆的弯矩图。
BD 杆：
图3-12
BD 杆受均布荷载，B 端弯矩纵坐标绘于上侧。C 端弯矩为零，相应的纵坐标也为零，将两控制截面纵坐标连以虚线，并以此虚线作为基线，叠加相应简支梁在均布载荷作用下的弯矩图，即得到 BD 杆的弯矩图。由于荷载方向是向下的，故简支梁弯矩纵坐标应自虚线向下量取
可见，即使是悬臂梁，也可看作是简支梁应用叠加原理绘制其弯矩图。
AB 杆：
AB 杆无荷载作用，两端截面弯矩相同，弯矩图为直线。
由以上可得整个刚架的弯矩图，如图 3-12（b）所示。
（3）计算杆端剪力，绘制剪力图。
根据杆端剪力值可作出刚架的剪力图，如图 3-12（c）所示。
（4）计算杆端轴力，绘制轴力图。
各杆轴力求出后，即可作出轴力图，如图 3-12（d）所示。
弯矩图绘制在杆件截面的受拉一侧，无须标明正、负号；绘制剪力图和轴力图时，正、负值应当绘于杆件的不同侧边，而且都必须注明正、负号。
（5）校核。
在刚架的计算中，除对内力的图形特征进行检查外，一般还需校核节点的平衡条件，本例取B 结点为隔离体，如图 3-12（e）所示，每个截面上的三种内力，取自三个内力图，其方向按如下方法定出：弯矩的箭头指向由杆件的受拉边指向受压边；剪力、轴力方向按前述规定。作用于该节点上的所有力，应当满足平面一般力系的三个平衡条件。显然，作用于节点 B 上所有力和力矩，是满足∑Fx=0、∑Fy=0及∑M =0的三个平衡条件的。
【例题3-5】 试作出图 3-13（a）所示刚架的内力图。
图3-13
解：（1）计算支座反力。
这是个简支刚架，考虑整体的平衡条件，由∑Fx=0可得
（2）绘制弯矩图。
作弯矩图时，逐杆绘制。
AB 杆：柱 AB 上受均布荷载作用，用叠加法绘制其弯矩图，先求杆端弯矩。
弯矩绘于 B 点左侧。将 A、B 两坐标的端点连以虚线，并以此虚线作为基线，叠加均布荷载所产生的简支梁的弯矩图，由于荷载方向是向右的，故简支梁弯矩纵坐标应自基线向右量取
DC 上无荷载，所以弯矩图为一直线。DC 两端截面弯矩分别为：
横梁 BC 上无荷载，弯矩图为一直线，两端弯矩数值为：
由此得出整个刚架的弯矩图，如图 3-13（c）所示。
需要指出，凡只有两杆交汇的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等且同侧受拉（即同使刚架外侧或同使刚架内侧受拉）。本例刚架的结点B 或结点 C［见图3-13（e）］就属这种情况。
（3）绘制剪力图。
分别计算出各控制截面剪力。
据此可作出剪力图，如图 3-13（d）所示。
同理，可绘出轴力图，如图 3-13（b）所示。
【例题3-6】 试作出图 3-14（a）所示三铰刚架的内力图。
图3-14
解：（1）求反力。由刚架整体平衡∑MB=0，可得：
由∑Fy=0，得：
再取刚架右半部分为隔离体，由∑MC=0有
则得
（2）作弯矩图，以 DC 杆为例，先求出其两端弯矩：
连以直线（虚线），再叠加简支梁的弯矩图，杆中的弯矩为：
同理可求其余各杆端弯矩，绘出弯矩图，如图 3-14（b）所示。
（3）作剪力图和轴力图。以 DC 杆为例，求D 截面的剪力和轴力时，可取该截面以左部分 AD 为隔离体［见图 3-14（f）］，由截面法可得：
求 C 截面的剪力和轴力时，若取其右边部分CEB 为隔离体［见图3-14（g）］，则有
由此，即可绘出 CD 杆的剪力图和轴力图。其余各杆同理可求得，结果如图13-4（d）、（e）所示。
3.静定空间刚架
若刚架的各杆轴及所承受的荷载不在同一平面内，则称为空间刚架，无多余约束的几何不变的空间刚架，称为静定空间刚架。确定一个自身为几何不变的空间刚架在空间的位置，需要六根不相交在同一直线上的支杆与基础连接，体系才能成为不变，如图 3-15（a）所示。图中的刚架，虽然各杆轴线都在 Oxy 平面内，但荷载不在此平面内，故亦属于空间刚架，也称为平面刚架承受空间荷载。
空间刚架的杆件横截面上一般有六个内力分量［见图 3-15（b）］，即轴力NF （沿杆轴线方向），剪力 FSy和 FSz(分别沿横截面的两个形心主轴方向），弯矩Mx和My(分别绕两形心主轴旋转的力偶），以及扭矩Mz(绕杆轴线旋转的力偶）。为了清楚起见，力偶都按右手螺旋法则用双箭头矢量表示。
各内力分量的正、负号以图 3-15（b）中所设的方向为正，反之为负。通常以杆轴为 x轴并以截面的外法线为x 轴的正方向；以截面的两个主轴为y 轴和z 轴，按右手螺旋法则定出y 轴和z 轴的正方向。
图3-15
计算静定空间刚架内力的基本方法，仍是截面法。从静定空间刚架中截取不超过六个未知内力分量的隔离体，由空间一般力系的六个平衡条件，可求得截面上的六个内力分量。作内力图时，可逐杆建立各内力方程，再按各内力方程作图。或首先分段求作各控制截面的内力，再根据作用于杆件的荷载情况作出各杆的内力图。作空间刚架的内力图时，弯矩纵标仍画在杆件受拉纤维一侧，弯矩图上不标明正负号；轴力图、剪力图和扭矩图可画在杆件的任一侧，但需标明正、负号。
【例题 3-7】 试求图 3-16（a）所示的空间刚架的支座反力，并作内力图。水平杆 CD平行于坐标轴 z，水平荷载垂直于 CD 杆作用。
图3-16
解：设各支座反力的方向如图 3-16（a）所示，则由刚架的平衡条件可得：
由于荷载与刚架的 BCD 部分处在同一平面内，故该部分属于平面受力状态。柱 AB 除了在 xy 平面内承受弯矩外，并承受沿杆轴为常量的扭矩TAx=-MAx=-qa2/2。此刚架的 M 图、T 图、FS图和FN图，分别如图 3-40（b）、（c）、（d）、（e）所示。
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