平面体系的自由度和约束-结构力学简介

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：故一个链杆能使体系减少一个自由度，相当于一个约束。在图 2-6 中，平面内点 A 原有 2 个自由度，若用两根不共线链杆 1、2 将其与基础相连，则 A 点的位置被完全确定，体系的自由度为零。此时，若再加一根链杆 3，体系的自由度仍为零，这说明所增加链杆约束的作用与体系中已有约束中的作用是重复的。如图 2-6 所示体系中和三根链杆中的任意两根均可认为是必要约束，则剩余的一根为多余约束。

1.刚片

在几何组成分析中，由于不考虑材料的变形，因此可以把一根杆件或已知是几何不变的部分看作一个刚体，在平面体系中又将刚体称为刚片。

2.自由度

所谓自由度，是指体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，也是确定体系在空间的位置所需独立坐标的数目。例如一个点在平面内自由运动时，其位置需用两个坐标x、y 来确定。若分别给出x 和y 已确定的数值，则此点在该平面内的位置便被完全确定［见图 2-2（a）］。所以，一点在平面内具有两个自由度。要确定空间点的位置需要三个坐标，空间的一个点有三个自由度。又如一个刚片在平面内自由运动时，其位置可由其上任一点A 的坐标x、y 和刚片上任一直线AB 的倾角θ 来确定［见图 2-2（b）］，因此可以说，x、y 和θ 是此刚片在其平面内运动的三个独立几何参数。故一个刚片在其平面内具有三个自由度。同理，空间内的刚体有六个自由度。

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图2-2

3.约束

使体系减少自由度的装置称为约束（或称为联系）。能使体系减少几个自由度的装置，就相当于几个约束。常见的约束有链杆、铰、刚性连接和支座。

（1）链杆。

两端用铰与其他物体相连的杆件称为链杆（连接基础时也称支杆）。如图 2-3（a）所示，A、B 两点间由一链杆连接，原先A、B 两个独立的点有4 个自由度，通过链杆连接后成为杆，在平面内只有图示 3 个自由度；在图 2-2（b）中的刚片有三个自由度，若通过链杆 AC 与基础连接［见图 2-2（c）］，刚片相对于基础沿链杆轴线方向不能运动，只能沿与杆垂直的方向运动和转动，只有两个自由度。故一个链杆能使体系减少一个自由度，相当于一个约束。如果把链杆换成曲杆或折杆，其约束作用与直杆相同。

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图2-3

（2）铰。

铰是用销钉将两个或多个钢片连接在一起的一种连接装置，也称为铰链。连接两个刚片的铰称为单铰，连接两个以上刚片的铰称为复铰。互不相连的两个刚片，在其平面内共有 6个自由度。若用一个单铰A 把Ⅰ、Ⅱ两个刚片连接起来，如图 2-3（b）所示，则还剩下4 个运动独立几何参数，故一个单铰能使体系减少2 个自由度，相当于两个约束。互不相连的三个刚片，在其平面内共有9 个自由度。若用一个复铰A 把Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个刚片连接起来，如图 2-3（c）所示，则还剩下5 个自由度，该复铰能减少4 个自由度，相当于4 个约束。复铰上连接的刚片越多，消除的自由度就越多，相当于约束数就越多。若一个复铰连接了 n 个刚片，则该复铰相当于2(n－1) 个约束，或相当于（n－1）个单铰。

一个单铰能使体系减少两个自由度，两个链杆也能使体系减少两个自由度，从减少自由度的数目方面来看两者是一样的，但两者的约束效用是否也相同呢？用两个链杆连接两个刚片有如图 2-4（b）、（c）、（d）所示的三种情况。图（b）中两个链杆的作用与图（a）中的单铰相同。图（c）中的刚片可发生绕瞬心A 的转动，因此在当前位置，两个链杆的约束作用相当于一个在A 点的铰，称之为虚铰。图（d）中的两个链杆平行，可看成是在无穷远处的一个虚铰，刚片可做水平平动，相当于绕无穷远点做相对转动。总之，在当前位置，两个链杆与一个单铰的约束作用可以看成是相同的，均使所连接的两个刚片绕一点做相对转动。相对于虚铰而言，图（a）、（b）中的铰称为实铰。

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图2-4

（3）刚性连接。

刚性结点包括刚结点和固定端，若用刚结点把两个刚片或不动体连接起来，如图 2-5（a）、（b）所示，则两者便被连成一体而成为一个刚片，可见连接两个刚片的刚结点能使体系减少3 个自由度，相当于 3 个约束。其约束作用与三个不平行也不交于一点的链杆相同，也与一个单铰和一个不通过铰的链杆相同，如图 2-5（c）、（d）所示。一个杆件中间的任意一点均可以看成是一个刚结点，即一根杆件可以看成是由两个杆件用刚结点相连或用三根链杆相连。

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图2-5

同理可知，连接 n 个刚片的复刚结点，相当于 3(n－1) 个约束或 (n－1) 个单刚结点。

4.必要约束与多余约束

并非所有的约束都能减少体系的自由度。在图 2-6 中，平面内点 A 原有 2 个自由度，若用两根不共线链杆 1、2 将其与基础相连，则 A 点的位置被完全确定，体系的自由度为零。此时，若再加一根链杆 3，体系的自由度仍为零，这说明所增加链杆约束的作用与体系中已有约束中的作用是重复的。一般将使体系成为几何不变而必需的约束，称为必要约束，其余的约束称为多余约束。每一个必要约束都能使体系减少1 个自由度，而多余约束的存在并不减少体系的自由度，必要约束与多余约束经常是相对而言的。如图 2-6 所示体系中和三根链杆中的任意两根均可认为是必要约束，则剩余的一根为多余约束。

平面内的杆 AB 原有三个自由度，如果用三根不交于一点的链杆 1、2、3 把 AB 与基础相连［见图2-7（a）］，则 AB 的位置被完全确定，三个自由度受到了约束，成为几何不变的简支梁。因此，链杆 1、2、3 都是必要约束，如果在图 2-7（a）的梁中间 C 点再增加一链杆4与基础相连［见图2-7（b）］，则链杆4 即为多余约束（可将杆2、3、4 中的任何一根看成是多余约束），而水平链杆1 则是必要约束。

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图2-6

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图2-7

5.自由度的计算

杆件体系是由若干杆件（刚片）彼此用铰相连，并用支座与基础相连而组成的。若体系中的刚片总数为m，单铰总数为h，链杆总数为b，则当刚片都是自由的时，自由度的总数为3m，加入的约束总数为（2h＋b），则体系的自由度数为：

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当体系中的结点均为铰结点时，也可按式（2-2）计算：

式中 j——铰结点总数；

b——链杆总数。

式（2-1）与式（2-2）中，W 称为体系的计算自由度，因为体系中可能有多余约束，多余约束不减少自由度，所以计算自由度并不一定是体系的真实自由度。只有无多余约束几何不变体系的计算自由度与自由度才是相等的；对于有多余约束的体系，计算自由度加上多余约束的个数才是体系的自由度。在未知多余约束个数的情况下，只有计算自由度大于零，才能给出体系一定是几何可变体系的结论；而计算自由度小于或等于零时，是得不到体系是几何不变的结论的，这时还需用后面介绍的方法来分析。

此外，当已知体系为几何不变体系时，计算自由度会给出多余约束的个数。

【例题 2-1】试计算图 2-8 所示体系的计算自由度。

解：由图可知，

m＝7（ADE、BE、CF、EF、EG、HG、HF 为刚片）

h＝10（A、B、C、G、H 为单铰；F 为复铰，相当于2 个单铰；E 为复铰，相当于 3 个单铰）

b＝0

由式（2-1）可知：W = 3m -(2h + b) = 3 × 7 - (2 ×1 0 + 0) =1

或

m＝3（ADE、EG、HF 为刚片）

h＝2（A、E 为单铰）

b＝4（BE、EF、HG、CF 为链杆）

则：