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混凝土损伤演化跨尺度自适应分析

2023-08-26 理论教育版权反馈

【摘要】：在建立了混凝土损伤跨尺度演化过程的自适应模拟方法以后，要实现损伤跨尺度演化过程自适应分析，还需要建立其有限元分析基本方程组。因为在Ωmacro中混凝土处于线弹性阶段，所以可以表示为：其中为连接子区域Ωmacro与Ωtrans的拉格朗日乘子为连接子区域Ωtrans与Ωmeso的拉格朗日乘子。基于损伤力学的有效应力概念，有效应力张量表示为：由此可得到：为便于有限元程序实施，需要将方程～离散化，组装成有限元基本方程组。

在建立了混凝土损伤跨尺度演化过程的自适应模拟方法以后，要实现损伤跨尺度演化过程自适应分析，还需要建立其有限元分析基本方程组。

所有子区域以及边界泛函之和Πw可以表示为：

其中Π（·）为子区域Ω（·）（·＝marco，meso，trans）的泛函为连接子区域Ωmacro与Ωtrans（∂Ωmacro∩∂Ωtrans）边界的泛函为连接子区域Ωtrans与Ωmeso（∂Ωtrans∩∂Ωmeso）边界的泛函。同时Π（·）（·＝macro，meso，trans）可以表示为：

其中在子区域Ω（·）（·＝macro，meso，trans）定义的表达式与式（6－16）定义的方式一样。因为在Ωmacro中混凝土处于线弹性阶段，所以可以表示为：

其中为连接子区域Ωmacro与Ωtrans的拉格朗日乘子为连接子区域Ωtrans与Ωmeso的拉格朗日乘子。

利用变分原理δΠw＝0，可以得到各个子区域以及用以连接不同子区域边界的平衡方程，包括：

（1）在Ωmacro上的平衡方程：

（2）在∂Ωmacro∩∂Ωtrans上的平衡方程：

（3）在Ωmeso上的平衡方程：

（4）在∂Ωtrans∩∂Ωmeso上的平衡方程：

（5）在Ωtrans上的平衡方程：

在方程（6－23），（6－25）与方程（6－27）中，采用下列变形与位移之间的关系：

和如下的损伤材料应变能函数表达式：

其中σij＝aijklεkl（1－D）为Cauchy应力张量，aijkl为初始弹性刚度张量。基于损伤力学的有效应力概念，有效应力张量表示为：

由此可得到：

为便于有限元程序实施，需要将方程（6－23）～（6－27）离散化，组装成有限元基本方程组。为此首先将在子区域Ω（·）（·＝marco，meso，trans）中的位移张量与拉格朗日张量离散为：

方程（6－23）～（6－27）离散化后的表达式为：

采用Newton－Raphson迭代法去求解非线性方程组（6－23）～（6－27），需要线性化每个方程，线性化过程可通过下述方程来实现：

其中（n）和βi与式（6－17）中定义的方式类似，应用式（6－30）求解方程（6－23）～（6－27），可以得到：

其中K（·）为子区域Ω（·）（·＝macro，meso，trans）的刚度矩阵，可以表示为：

其中定义了连接子区域Ωmacro与Ωtrans，和子区域Ωtrans与Ωmeso边界的拉格朗日乘子的矩阵，分别表示为：

根据方程（6－18），矩阵［Kmeso］，［ΔUmeso］与［RΩmeso］可以细化为：

求解过程中须重复迭代直到满足如下收敛条件：

其中tol w为迭代容差。