以一个任意形状的结构体为例，对嵌套多尺度损伤模拟中的不同尺度域及其边界进行定义和描述。图4.1嵌套多尺度损伤模拟中的尺度域与边界示意图定义结构整体所在的空间为Ω，所属边界为Γ，而Γu和Γτ分别为施加在边界Γ上的已知位移和已知应力。区域ΩGL中的损伤与力学行为需要考虑其在宏观与细观两个尺度下的损伤演化过程方能确定。......
2023-08-26
混凝土材料细观损伤演化过程模拟的基本方程在结构损伤多尺度模拟
【摘要】：在基于材料细观构造图像建立了混凝土细观模型以后，还需要确定计算混凝土材料细观损伤演化过程的基本方程，包括由混凝土各细观组分材料性能决定的材料刚度矩阵计算、各细观组分材料的损伤演化率等。对于大尺寸的混凝土土木工程结构，则必须发展损伤跨尺度演化过程的自适应模拟与分析方法。
在基于材料细观构造图像建立了混凝土细观模型以后，还需要确定计算混凝土材料细观损伤演化过程的基本方程，包括由混凝土各细观组分材料性能决定的材料刚度矩阵计算、各细观组分材料的损伤演化率等。
如图6.27所示的，混凝土的细观组分由骨料、基体以及两者之间的界面层组成。所以混凝土细观模型事实上由三个不同组分的子区域
（k＝1，2，3，其中1—骨料，2—基体，3—界面层）组成，分别代表混凝土中的骨料、基体和界面层这三种细观组分所占的空间域。每个子域
中的单元都具有各自不同的材料特性，需要分别赋予不同的材料性能参数和损伤性能参数，以描述具有不同材料特性的各个子域中单元的材料性能和损伤演化过程。为此，首先需要建立由这三个不同组分的子域
（k＝1，2，3）决定的混凝土材料刚度矩阵计算公式。
1.由混凝土各细观组分材料性能决定的材料刚度矩阵计算
细观模型中包含的三个不同组分的子域
（k＝1，2，3）的泛函之和可表述为：
其中
是子区域
（k＝1，2，3）的泛函，且
可表示为：
其中
为各子域的应变能密度，
为分布体力，
与
分别为子区域
的位移与应变张量，
）为子区域
的损伤场，Sσ为边界面力
所作用的边界。
利用变分原理
可得到各子域的平衡方程：
其中
为应变能密度，
为分布体力
分别为在子区域
上的位移和应变张量
为在子区域
上的损伤变量，Sσ为边界面力
所作用的边界。
为了将在各个子域建立的平衡方程（6－15）离散化以后组装为有限元基本方程组，首先将在子区域
中的位移张量
离散为：
则方程（6－15）离散化后的表达式为：
其中L为位移转变应变的矩阵（这里采用小变形问题的应变与位移矩阵），I为单位矩阵，E为初始弹性刚度矩阵，
为体力矩阵
为面力矩阵
可表示为：
为采用Newton－Raphson迭代法求解非线性的方程（6－16），需要通过下述方程实现其线性化：
其中（n）表示变量值在第n步迭代，βi为独立变量，根据方程（6－17），方程（6－16）可以表示为：
其中
为子域
的刚度矩阵，可表示为：
求解方程（6－18）过程中须重复迭代直到满足以下的收敛条件：
其中tol meso为迭代容许误差。
2.混凝土及其各子域
组分材料的损伤演化方程
适合于混凝土类脆性材料损伤分析的模型主要有Mazars混凝土损伤模型［33］，混凝土材料中的各组分材料都属于混凝土类准脆性材料，因此也可以选择Mazars损伤模型来描述各组分材料中的损伤演化过程。定义D（x＊）为位于各子域
，其中1—骨料，2—基体，3—界面层）中的x＊点处的损伤变量以及作为混凝土材料总体上
的损伤变量，其中的＊视x＊点所属子域分别取为：1—骨料，2—基体，3—界面层和C—混凝土材料整体，简记为D（＊）。由此可见，当＊取1（骨料）、2（基体）、3（界面层）时，D（＊）分别代表混凝土各细观组分中的损伤变量，而当＊取C时，D（＊）则代表各组分损伤性能均匀化后的混凝土材料的损伤变量。由于混凝土类准脆性材料在拉和压状态下的损伤行为截然不同，在拉压应力作用下损伤变量D（＊）可以表示为：
以
分别表示主应力张量的正定部分（拉应力分量）与负定部分（压应力分量）
分别为拉应力与压应力导致的损伤。据此，应变张量的拉伸与压缩部分
可表示为：
系数
分别表示为：
其中，
可以表示为：
其中
为拉应力状态下发生损伤的应变阀值
为拉应力状态下的损伤参数。
其中
为压应力状态下发生损伤的应变阀值
为压应力状态下的损伤参数。
3.模型参数反演
以上给出混凝土及其各子域
组分材料的损伤演化方程中包含了若干模型参数
］，这些描述混凝土细观组分损伤性能的参数是很难从实验中测得的；因此，必须采用模型参数反演的方法去优化确定。参数反演的实施策略如下：首先根据相关研究工作中给出的宏观混凝土材料的Mazars损伤模型参数范围［33］与各细观组分的Mazars损伤模型参数范围［34］，来确定这里的混凝土与各组分损伤参数的范围；然后在所确定的参数范围内，通过多次试算，优化确定各模型参数，使得通过数值模拟所获得的应力－应变关系与实验所获得的应力－应变关系之间的误差最小，也就是说参数反演的过程须满足如下优化条件：
图6.29 用于模型参数反演的体元数值模型
其中，αm为所需确定参数的集合
选用文献［33，34］中给出的范围。不失一般性，从混凝土构件中取任意1dm3的混凝土立方体作为模型参数反演的代表性体元，建立其数值模型如图6.29所示。将实验获得的应力－应变曲线离散为n个点
为第i个点的应变值，在应力－应变曲线上与之对应的应力值为σi，
为通过在体元有限元模型的一侧施加荷载σi计算得到的应变值。在所确定的模型的参数范围之内多次试选模型参数，分别针对该体元在单轴拉和压工况多次试算，通过在有限元模型施加应力计算应变
，其中l为该体元的初始尺寸，Δli为该体元在荷载作用下变形后位移的改变值，如图6.29所示，并将通过数值模拟获得的应力－应变关系与实验结果对比，优化确定损伤模型参数。由此反演得到的参数在表6.3中给出。
表6.3 参数反演获得的损伤模型参数
图6.30给出了利用优化过的损伤模型参数计算得到应力－应变曲线与实验结果的比较，同时也给出了在对应的应力－应变下的损伤状态图。由该图可见，利用优化过的混凝土材料与各细观组分的损伤模型参数获得的应力－应变曲线与实验数据符合较好，表明利用上述模型参数反演方法可以获得可靠的混凝土材料与各细观组分的损伤性能参数。同时图6.30中给出的所对应的宏、细观损伤状态，表明对体元中各组分的细观损伤演化模拟，不仅可以描述材料宏观的力学性能退化行为，而且还可以描述从材料中的细观损伤演化到宏观上性能劣化这个跨尺度的演化过程，可以更好地从细观的角度理解混凝土的损伤与失效机理。但是上述的细观尺度下的损伤数值模拟会带来很大的计算工作量，因此只适用于小尺寸样本的数值模拟。对于大尺寸的混凝土土木工程结构，则必须发展损伤跨尺度演化过程的自适应模拟与分析方法。
图6.30 单轴拉、压荷载作用下体元应力－应变曲线及对应的宏、细观损伤分布（彩图见附录）
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