疲劳损伤演化方程必须能够描述绝大多数微裂纹成核与扩展行为的如下两个特征，即微裂纹的成核长度不超过晶粒的尺寸，以及微裂纹尖端扩展到第一个晶界处即停止扩展。由于此时的微裂纹已停止扩展，即：按照绝大多数微裂纹的成核与扩展行为和疲劳损伤变量的定义，得到多尺度疲劳损伤模型如下：同时得到多尺度疲劳损伤演化率为：......
2025-09-30
结构损伤模拟与分析：局部坐标系到整体坐标系的约束方程转换
【摘要】：在大型有限元软件中应用约束方程往往是需要在整体坐标系下的。这就需要把跨尺度界面在局部坐标系下建立的节点位移约束方程通过坐标转换矩阵转换到整体坐标系下，以方便在大型有限元软件中应用。同梁单元从局部坐标系转换到整体坐标系的方法类似，首先有坐标转换矩阵如下：其中lx′X，lx′Y，lx′Z是局部坐标系x′轴对整体坐标系X，Y，Z轴的三个方向余弦。
前面介绍了相关跨尺度模型在跨尺度界面处的局部坐标系下建立位移约束方程的理论方法。在大型有限元软件中应用约束方程往往是需要在整体坐标系下的。这就需要把跨尺度界面在局部坐标系下建立的节点位移约束方程通过坐标转换矩阵转换到整体坐标系下，以方便在大型有限元软件中应用。
为了方便坐标系转换，需要将前面所列的节点位移约束方程转化成矩阵形式。如图4.15所示，为一跨尺度模型处于整体坐标系XYZ中，并在其大、小尺度模型界面处建立局部坐标系x′y′z′，其中b点为大尺度梁单元模型在跨尺度界面上的节点，1，2，3，…，n点为小尺度精细单元模型在跨尺度界面处的节点。通过前面的公式推导，可以得到x′y′z′局部坐标系下跨尺度界面上的节点位移约束方程。
图4.15 约束方程由局部坐标系到整体坐标系的转换
定义
分别为小尺度模型节点i（i＝1，2，3，…，n）在局部坐标系下x′，y′，z′方向的水平位移
分别为大尺度模型节点b在局部坐标系 下x′，y′，z′方向的 水平位 移
，
为大尺度模型节点b在局部坐标系下绕x′，y′，z′轴的转角位移；Ui，Vi，Wi为小尺度模型节点i（i＝1，2，3，…，n）在整体坐标系下X，Y，Z方向的水平位移；Ub，Vb，Wb为大尺度模型节点b在整体坐标系下X，Y，Z方向的水平位移；θX b，θY b，θZ b为大尺度模型节点b在整体坐标系下绕X，Y，Z轴的转角位移。
根据式（4－79），结合如图4.15所示的局部坐标系x′y′z′得到满足跨尺度界面位移协调的约束方程矩阵表达形式：
从上式可以看出，满足跨尺度界面位移协调的节点位移约束方程一共会有3n个。
根据前一节中对满足跨尺度界面应力连续的节点位移约束方程的推导，并结合如图4.15所示的局部坐标系得到满足跨尺度界面应力连续的位移约束方程矩阵表达形式：
其中，｛Ci｝是系数矩阵，从上式可以看出满足跨尺度界面应力连续的节点位移约束方程一共有6个。
同梁单元从局部坐标系转换到整体坐标系的方法类似，首先有坐标转换矩阵如下：(https://www.chuimin.cn)
其中lx′X，lx′Y，lx′Z是局部坐标系x′轴对整体坐标系X，Y，Z轴的三个方向余弦。即
其余ly′X，ly′Y，…，lz′Z分别是局部坐标系y′，z′轴对整体坐标的方向余弦。
利用坐标转换矩阵，整体坐标系中的位移与局部坐标系中的位移关系得到大尺度梁单元节点位移在两个坐标系之间的转化关系如下：
小尺度模型单元节点位移在两个坐标系之间的转化关系如下：
将式（4－93）、式（4－94）代入式（4－91），可以得到在整体坐标系XYZ下的满足跨尺度界面位移协调的节点位移约束方程矩阵表达形式：
将式（4－93）、式（4－94）代入式（4－92），可以得到在整体坐标系XYZ下的满足跨尺度界面应力连续的节点位移约束方程矩阵表达形式：
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