目前对在疲劳损伤过程中微裂纹成核与扩展问题的研究，大都是在单一尺度下进行。疲劳损伤累积过程中的微裂纹成核与扩展阶段的疲劳损伤过程是一个跨尺度演化行为，在细观尺度下，表现为微裂纹的成核与扩展造成的微观缺陷的增长，在宏观尺度下，表现为微裂纹扩展的群体效应造成宏观疲劳损伤累积和寿命消耗。......
2023-08-26
结构损伤多尺度模拟-跨尺度界面应力连续方法
【摘要】：图4.12纯弯曲作用下跨尺度界面上的应力分布首先假设当跨尺度界面处的梁单元节点只有绕x轴的弯矩Mx作用时，根据界面上大小尺度模型做功相等，可得：其中θx为绕x轴转角。此外，还应注意到，该方法分成四部分导出的跨尺度界
为了满足大尺度下的梁单元与小尺度下的实体单元模型在跨尺度界面处应力的连续性，假设在界面上的做功相等，并按材料力学原理求解界面应力，可推导得到在各种力作用下梁单元与实体单元耦合的多点位移约束方程。其中，小尺度模型在跨尺度界面上的应力分布都是按照材料力学理论在一定假设的基础上推导得出的，所以整个跨尺度界面也是要偏向于杆件属性的，必须符合平截面假定，且处于线弹性及小变形范围内。假如在跨尺度界面上满足了弹性、小变形的假设，便可以根据叠加原理将跨尺度界面连接分成轴向拉压、纯弯曲、剪切、纯扭四种情况，其中纯弯曲和剪切情况在跨尺度界面内又可以分为两个方向，于是便可以得到六个等式。这六个等式分别对应于六种不同的梁单元自由度。等式的建立过程如下：
1.轴向拉压
在轴向拉伸Fz的作用下，小尺度模型在跨尺度界面上只有z向正应力，如图4.11所示。
图4.11 轴向拉压作用下跨尺度界面上的应力分布
所以在界面（z＝0）处，可以根据做功相等得到下式：
其中Fz是梁单元的轴力，w为跨尺度界面上梁单元节点的轴向位移，σz为跨尺度界面上小尺度模型的轴向应力，W是小尺度模型在界面上某点的轴向位移（以坐标为自变量的函数），A为跨尺度界面上小尺度模型总面积。
如果研究对象细长，则跨尺度界面处小尺度模型上的轴向应力值为常数：
又因为小尺度模型面上的某点轴向位移可以由已知的各单元节点的轴向位移｛W｝插值表示出来，单元确定了，形函数［N］就可以知道，于是有：
假设小尺度模型在连接界面上涉及的单元总数为Nelememt，将式（4－81）、式（4－82）代入式（4－80）得到：
其中Aj为小尺度模型单元j在连接面上的面积。
得到在轴向拉压情况下的多点位移约束方程为：
其中Wi为在跨尺度界面上小尺度模型单元节点i沿该面法线方向上的位移，Bi为约束方程（4－84）中节点位移Wi的系数。
2.纯弯曲
在纯弯曲作用下，根据材料力学理论，小尺度模型在跨尺度界面上的应力分布依然只有z向的正应力，如图4.12所示。根据叠加原理，可以把该三维模型分为两个方向考虑。
图4.12 纯弯曲作用下跨尺度界面上的应力分布
首先假设当跨尺度界面处的梁单元节点只有绕x轴的弯矩Mx作用时，根据界面上大小尺度模型做功相等，可得：
其中θx为绕x轴转角。
根据材料力学中的梁理论，在纯弯曲作用下，梁横截面上的正应力沿高度方向是线性分布的，其求解公式如下：
其中Ixx为跨尺度界面对x轴的惯性矩。
小尺度模型在跨尺度界面上的轴向位移（z轴正向）依然用已知节点位移的插值函数表示成式（4－82），利用前两式，可得：
同理，针对连接界面处只有绕y轴的弯矩My作用时，可得：
其中θy为绕y轴转角，Iyy为跨尺度界面对y轴的惯性矩。将式（4－85），式（4－86）展开也能得到形如式（4－84）的节点位移约束方程。
3.剪切
在剪切作用下跨尺度界面上的应力分布如图4.13所示。根据材料力学理论，在梁的横截面上有剪切力时，不同的截面形状会导出不同的应力分布状况，但一般情况下横截面上分布着存在于面内的切应力。为了便于讨论，同纯弯曲情况，将剪力也分为两个方向讨论。
图4.13 剪切作用下跨尺度界面上的应力分布
假设当跨尺度界面上的梁单元节点受到剪切力Fx时，小尺度模型在界面上会产生切应力τxz，τyz，根据做功相等，可得：
假设当跨尺度界面上的梁单元节点受到剪切力Fy时，小尺度模型在界面上同样会产生切应力τxz，τyz，根据做功相等，可得：
其中，u，v分别为跨尺度界面上梁单元节点的x方向与y方向位移，U，V分别为连接界面处小尺度模型的x方向与y方向位移。
U，V同于W为坐标值函数，在小尺度模型中可以用在跨尺度界面上的单元节点位移插值表示：
其中［N］为形函数组成的形函数矩阵，｛U｝，｛V｝分别为由跨尺度界面上小尺度模型单元节点位移组成的位移向量。
将上式代入式（4－87）可导出：
展开后可得到形如下式的位移约束方程：
类似地可导出：
展开后可得到形如下式的位移约束方程：
其中，Ui，Vi分别为跨尺度界面上小尺度模型单元节点i的x方向与y方向位移，Ei，Fi，Gi，Hi分别为约束方程中各位移自由度的系数。
关于求解梁横截面在剪切力作用的切应力分布，根据材料力学理论，针对不同的横截面形状特征，做相应的简化和假设，可以得到不同的切应力表达式。本书将在后面介绍如何在有限元软件中应用跨尺度单元连接方法，并根据模型横截面的特征给出相应剪力作用下的应力公式。
4.扭转
图4.14 扭转作用下跨尺度界面上的应力分布
受自由扭转时跨尺度界面上的应力分布如图4.14所示。根据材料力学理论，在小变形条件下，等直圆杆在扭转时的横截面上只有切应力；等直非圆杆在扭转时横截面虽然发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，称为纯扭转或自由扭转，其相邻两截面的翘曲度完全相同，横截面上仍然只有切应力而没有正应力。若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，称为约束扭转，则其相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上引起附加的正应力。由于约束扭转所引起的附加正应力，在一般实体截面杆件中通常均很小，可略去不计。于是，在此处为了方便计算，只考虑在自由扭转情况下只存在切应力的情况。
当模型两端受外力偶Mz作用时，根据跨尺度界面上两种不同尺度模型做功相等，可得：
其中θz为界面处梁单元节点绕z轴的转角。
与剪切情况相同，将小尺度模型中的位移分量U，V用在连接界面上的节点位移插值来表示。将位移插值函数代入上式，得到：
展开后即得形如式（4－88）的节点位移约束方程。
关于τxz，τyz的具体表达式，根据弹性力学理论，梁在扭转作用下，其横截面的应力分布是相当复杂的，不同横截面的形状特征会有不同的求解结果。为了能方便地将切应力公式代入式（4－90）计算，需要针对截面特征做相应的假设和简化，符合工程实际应用便可。
综上所述，从满足跨尺度界面应力连续性的角度出发，根据做功相等导出位移约束方程，条件是要引入相应的应力公式，可以保证应力在跨尺度界面处精确传递，同时也要保证跨尺度界面能符合一定假设条件。此外，还应注意到，该方法分成四部分导出的跨尺度界面所需要的所有的位移约束方程，一共有六个，每一个约束方程都对应一个梁单元的自由度。而满足跨尺度界面位移协调的位移约束方程是以跨尺度界面处的大尺度梁单元节点为主节点、小尺度模型上的节点为从节点而建立的，每一个从节点与主节点之间都能建立三个位移约束方程，N个从节点就能建立3 N个位移约束方程。如果把约束方程看成约束条件，一般情况下满足跨尺度界面应力连续的约束条件要少得多，但从前面的推导可以看出，其推导过程相对要麻烦很多，不利于实施。从应用范围上看，两种跨尺度单元连接方法对跨尺度界面的要求都是其要在弹性、小变形范围内，且符合平截面假定。
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