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结构损伤多尺度模拟：数学渐进均匀化方法

2023-08-26 理论教育 版权反馈
【摘要】：数学渐进均匀化方法从物理量的数学渐进展开出发，属于多尺度摄动方法范畴，称为数学平均化方法。渐进均匀化方法的基本思想是，在载荷作用下的结构场变量将随着宏观尺度中的坐标点x的变化而变化。这样一来，有必要将上述渐进均匀化方程转换成增量表达形式。

数学渐进均匀化方法从物理量的数学渐进展开出发，属于多尺度摄动方法范畴，称为数学平均化方法。数学渐进均匀化方法通过定义宏观和细观两个尺度，引入小参数，将宏观结构中一点的位移、应变及应力场等展开成含有宏观和细观两种尺度坐标的小参数渐进展开式，根据连续介质所满足的基本方程和边界条件，得到一系列的控制方程并通过求解这些方程，同时得到宏观等效性能及细观应力分布。

渐进均匀化方法的基本思想是，在载荷作用下的结构场变量（如位移、应力）将随着宏观尺度中的坐标点x的变化而变化。同时，由于结构中的某些易损局部中缺陷和高应力导致非均匀性与损伤突变，导致变量在x附近的一个小领域δ内迅速变化。因此可以将这些场变量分解成宏观尺度上的一个平均缓和变化场与细观尺度上的一个周期变化场的叠加。如图4.7所示，通过分解后原有微分控制方程导出的变分方程将自动分解为两个尺度上的耦合问题，从而实现易损局部区域ΩGL的变量在双尺度中的求解。

图4.7　高振荡函数及其一个周期的示意图

1.弹性损伤情况下双尺度渐进均匀化数学模型

考虑形如图4.8所示的一个简单固体Ωξ，承受体积力bξ并且在边界Γu和边界Γτ上分别存在固定位移边界和面力作用，由于细观统计意义上的周期性分布，可建立场变量随两种尺度变化的关系式，即Φξ（x）＝Φ（x，x／δ），上标ξ表示该函数具有两个尺度的特征，x是宏观尺度的坐标，y是细观尺度的坐标，而δ是两尺度之比。

在结构中含缺陷的局部细节部位的控制方程有如下表达式：

平衡方程：

本构方程：

几何方程：

位移边界条件：

应力边界条件：

上式中，分别表示应力、应变张量，dξ∈［0，1）为损伤变量，Lijkl为材料的弹性模量，这里左上标表示其所在坐标系，右下标表示分量。

图4.8　具有细观周期分布RVE的固体

设这些尺度对细观坐标y＝x／ξ（x≫y）的依赖具有周期性，有：

若将位移函数展开为关于小参数ξ的渐进级数：

上式中上标表示所示所在尺度。将应变场张量εξi（x，y）进行关于小参数ξ的渐进展开，则根据几何方程式（4－36）及上式，有：

其中，

刚度系数Lijkl是一个与ξ相关的坐标x的周期函数，在考虑弹性损伤的情况下，则有：

那么应力σij可以表示成：

其中：

将应力摄动展开式（4－45）代入平衡方程（4－34），根据摄动系数ξ的不同阶数，整理得到以下各阶平衡方程：

由式（4－46）两边同乘以后积分有：

根据细观尺度的周期性和弹性模量Lijkl的正定性，有：

上式表示只是x的函数，与细观坐标y无关，且有。于是位移函数（4－41）可以重写成：

与物理平均化方法对比可以发现，项类似于物理平均化方法中的宏观位移，而，…为细观位移。由于细观结构的非均匀性，结构各点的真实位移在平均位移扰动，由此可见，渐进均匀化理论对位移函数的假设与基于物理平均场理论类似，由此计算实现过程也有类似之处。

根据式（4－50），式（4－48）可以改写为：

对于弹性损伤材料，有以下表达式：

其中

为了求出宏观应力，引进一个周期性的二阶张量为特征函数，建立细观位移与宏观应变之间的关系，有：

将上式代入式（4－48），有：

于是有：

积分并整理后可得：

其中分别为宏观等效刚度系数和宏观等效体积力：

其中Iklmn＝（δmkδnl＋δnkδml）／2，因此考虑细观损伤情况下宏观等效应力为：

根据连续介质损伤理论，宏观等效损伤张量D表示式为：

2.双尺度渐进均匀化计算的有限元列式

通过双尺度分解，含细观扰动项的弹性损伤问题将转化为成在宏、细观两个尺度上各自方程的耦合求解。也就是说，需要在宏观尺度上求解宏观位移使其满足式（4－55），并且在细观尺度上求解细观位移及其位移特征函数使其分别满足式（4－53）及式（4－54）。其中宏细观尺度关联方程为式（4－56）。

3.位移特征函数的有限元列式

为了建立位移特征函数的有限元表达式，将式（4－52）两边同乘以以Y为周期的广义虚位移，并在RVE上积分，有：

将上式分部积分并考虑到特征函数及广义虚位移的周期性，有：

函数χkl（y）在有限元计算中可用差值函数近似为：

式中，N是形函数矩阵，Ψ是节点的广义坐标，n表示有限元系统中的自由度总数。于是式（4－58）可以写成有限元的标准形式：

式中，B是形函数N对yi的导数是刚度矩阵Ld中取kl（kl＝11，22，33，23，31，12）的向量。Ψkl是与kl有关的特征位移向量。对于三维空间不同的应变状态需要六个方程才能求出函数Ψkl。

由式（4－60）定义的等效刚度矩阵的有限元形式可表示为

式中Ψ＝｛Ψ11，Ψ22，Ψ33，Ψ23，Ψ31，Ψ12｝，根据式（4－60）应用有限元法所求解的Ψ便可计算出等效刚度矩阵。

4.等效刚度矩阵的有限元列式

方程（4－60）给出了用有限元求解位移特征函数的具体有限元列式，仔细观察可以发现在细观RVE有限元网格不变的情况下变换kl（kl＝11，22，33，23，31，12），只有右端的等效节点载荷项随之变换；并且等效节点载荷项与位移模式形函数相关。因此，方程（4－60）与求解初始应力的有限元基本列式类似，可以作为具有一个初始应力或初始应变的问题进行求解。

引入细观应力影响函数，其物理意义为在细观RVE内部单元由宏观初始应变作用所产生的应力。其表达式为：

则宏观等效刚度矩阵的表达式可改写为：

根据方程（4－55），宏观本构方程表达式为：

若对宏观RVE施加单位初始应变，则所计算出的宏观应力在数值上即等同于RVE的宏观等效刚度。在三维RVE中，为6×6矩阵（ij表示行变化，mn表示列变化），因此初始单元应变有六个分量如式（4－65）所示：

对RVE内每个积分点yi上的细观应力影响函数进行平均化即可求得RVE的宏观等效刚度矩阵：

其中J（yi）和W（yi）分别为积分点yi上的雅可比矩阵和权函数。

5.渐进均匀化方程的增量形式

在结构损伤多尺度分析过程中，易损区域的宏观等效性能随着细观局部损伤的演化而不断降低，因此在每个载荷增量步中都需要重新计算结构等效刚度矩阵，即需要以迭代方式完成整个结构损伤多尺度分析。这样一来，有必要将上述渐进均匀化方程转换成增量表达形式。

将结构宏观载荷步进行离散化，设在第n阶载荷步的载荷和位移uG已知，则在第n＋1阶载荷步下宏观位移有以下表达式：

上式中，左下标表示宏观载荷步，左上标表示细观迭代步，Δ表示增量，引入下列形函数方程：

于是宏、细观尺度上几何方程可以改写为：

其中分别表示宏、细观尺度上的应变增量表示宏、细观尺度上与形函数相关的应变矩阵。

根据以上离散，基于渐进均匀化理论的结构损伤多尺度问题可改写成在宏、细观两个尺度上各自增量方程的耦合求解。其中在宏观上求解位移增量满足以下方程：

其中载荷步n时刻载荷位移为已知条件分别为载荷步n＋1时刻宏观内力和宏观外部载荷为宏观残差。在细观上求解细观位移增量满足以下方程：

其中和nσij为已知条件，为细观残差。

仔细观察式（4－73）可以发现：在每个宏观载荷步所进行细观计算中，宏观尺度变量作为常数存在，即宏观尺度上场量的变化对细观局部的影响是以边界位移（或边界载荷）的形式作用在RVE上的，因此当细观边界确定后即可在细观尺度进行有限元求解得到细观应力分布。根据所求得的细观应力进行平均化处理即可得到n＋1载荷步下宏观等效应力：

在以上计算结果的基础上对RVE进行线性扰动分析，分别在各个方向上施加宏观单位初始应力，即可以获得该载荷步下的应力影响函数：

对应力影响函数进行平均化即可获得n＋1阶载荷步下的等效刚度矩阵：

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