但是，与图4.1中不同的是，定义结构中含细观缺陷的易损局部所在空间为ΩL，ΓGL表示结构整体区域与细观局部区域交界处。值得注意的是，在嵌套多尺度方法的空间描述中，易损局部域为ΩGL，该区域具有宏观与细观双重尺度属性，而在这里，易损局部域为ΩL，该区域仅具有细观尺度属性。......
2023-08-26
结构损伤多尺度模拟方法的基本方程
【摘要】：以一个任意形状的结构体为例，对嵌套多尺度损伤模拟中的不同尺度域及其边界进行定义和描述。图4.1嵌套多尺度损伤模拟中的尺度域与边界示意图定义结构整体所在的空间为Ω，所属边界为Γ，而Γu和Γτ分别为施加在边界Γ上的已知位移和已知应力。区域ΩGL中的损伤与力学行为需要考虑其在宏观与细观两个尺度下的损伤演化过程方能确定。
以一个任意形状的结构体（如图4.1所示）为例，对嵌套多尺度损伤模拟中的不同尺度域及其边界进行定义和描述。
图4.1 嵌套多尺度损伤模拟中的尺度域与边界示意图
定义结构整体所在的空间为Ω，所属边界为Γ，而Γu和Γτ分别为施加在边界Γ上的已知位移和已知应力。定义结构中须考虑缺陷导致损伤演化的局部细节部位所在空间为ΩGL，所在边界记为ΓGL。记除局部细节部位所在空间ΩGL以外的所有空间为ΩGG，即
在易损局部区域ΩGL中，由于细观损伤、缺陷的存在，原有的弹性和／或塑性本构描述也已经不符合实际情况，需要对这些易损部位进行细观尺度下的损伤分析，即区域ΩGL同时具有宏、细观双尺度特征。所以，区域ΩGL既属于宏观尺度域，又属于细观尺度域；该区域中细观尺度是的损伤及力学行为用细观RVE及其细观损伤与本构模型计算，在宏观尺度上的损伤和力学行为采用均匀化方法从细观分析结果等效而来。
以如图4.2所示的杆系结构为例，定义宏观尺度下的坐标系为G，细观尺度下的坐标系为L，宏观坐标系中的特征尺度LG远大于细观坐标系中的特征尺度LL（LL≪LG）。区域ΩGL在宏观坐标系G中所在空间记为VG，所在边界记为∂VG，且所在边界∂VG可分为位移边界
和应力边界
两种，这些边界满足以下关系式：
同样，区域ΩGL在细观坐标系中所在空间记为VL，在细观尺度上材料中存在孔洞、微裂纹及夹杂。所在边界∂VL分为外部边界
及内部边界
，这些边界满足以下关系式：
于是，对于结构中任一点，其位移u表达式为：
图4.2 杆系结构损伤多尺度描述示意图
上式中，为保持位移连续性，定义边界ΓGL上细观位移uL为零。
在结构损伤分析中，仅需对结构中那些包含损伤的局部细节部位（即区域ΩGL）在细观尺度下进行细观损伤演化与细观应力、应变场的全耦合分析计算，然后通过均匀化过程获得相关部位的宏观应力、应变场和宏观等效损伤量。而对于结构中那些处于弹性工作状态下的构件（区域ΩGG），只需在宏观坐标系G下进行常规的结构分析计算。
因此，对于结构中那些处于弹性工作状态下的构件（区域ΩGG），需满足以下控制方程：
平衡方程：
本构方程：
几何方程：
上式中
分别表示在大尺度（结构全局尺度）G下的柯西应力、应变、体积力和位移。
区域ΩGL中的损伤与力学行为需要考虑其在宏观与细观两个尺度下的损伤演化过程方能确定。按串行式多尺度分析方法，宏观尺度上的变量参数需要通过细观尺度上的细观损伤与力学响应耦合的边值问题分析来计算得到。由于细观损伤的存在，原有的宏观本构描述也已经不符合实际情况，需在细观坐标系L下进行损伤分析来获得细观尺度的损伤与力学行为，而宏观尺度下材料的本构性能则由细观应力和应变场的计算结果通过等效计算来确定，也即实施宏观尺度上细观损伤与力学响应的“均匀化”。而实现均匀化等效计算的前提条件是，细观尺度下的代表性体元为含缺陷的非均质材料。一般在细观或微观尺度上具有非均匀特性的材料（如混凝土等多组分材料和复合材料），如果在宏观RVE中忽略其细观非均匀性，假设其满足连续均匀性，那么尽管其在细观尺度上的代表性体元是非均匀的，而宏观尺度上的代表性体元则是连续均匀的。
在结构多尺度分析中，如果结构在宏观上可视为是连续、均匀的，而结构中的细观缺陷在细观尺度上具有统计意义上的周期分布，就可以通过建立宏观代表性体元RVE对这类含周期性细观缺陷的细观RVE与宏观RVE进行描述，如图4.3所示。
图4.3 周期性细观分布的缺陷及其宏观与细观RVE
图4.3中，宏观RVE中的应力应变等力学变量在宏观上是均匀的，而在细观RVE中，因为微孔洞、微裂纹及夹杂的存在，这些力学变量的分布又是不均匀、不连续的。
一般而言，细观RVE与宏观RVE之间的边界条件有以下四种，分别表示为：
1.应变边界条件
其中
为给定的均匀施加的应变张量，y＝（y1，y2，y3）为细观尺度空间位置坐标向量，由此定义位移边界条件uL均匀地施加在代表性体元的外边界
上。
2.应力边界条件
其中
为给定的应力张量，n为代表性体元外边界的法向量，由此定义的应力边界条件t L均匀地施加在代表性体元的外边界
上。
3.混合边界条件
即同时包含了位移边界和应力边界条件。
4.周期性条件
其中l为代表性体元尺寸大小。
在细观坐标系L下进行损伤与力学响应耦合分析时，除了上述边界条件，还需要细观损伤与力学响应耦合的控制方程共同组成细观损伤与力学响应耦合边值问题。定义细观损伤变量dL描述细观RVE中的细观缺陷演化的群体损伤效应，该细观损伤变量dL的演化规律主要取决于累积塑性应变和当前损伤状态。利用连续介质损伤力学理论中的有效应力概念和应变等效原理可以建立该类细节局部的材料在细观尺度下的损伤本构关系。考虑这些细观单元在受体积力
、载荷
及给定边界条件作用下，其细观应力、应变场和细观损伤场的控制方程如下：
平衡方程：
几何方程：
本构方程：
损伤判据：
边界条件：
损伤演化方程：
上式中，
分别表示在小尺度（局部细观尺度）下的坐标系L中的柯西应力、应变、体积力、位移和等效塑性应变。需要注意的是，上述的细观本构方程、损伤判据和损伤演化方程为一般表达式，其具体表达需要根据所需要分析的具体问题而定。联合其初边值条件求解以上控制方程，便可以得到细观尺度上的应力、应变场和损伤变量。
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