建筑力学的任务是研究结构的几何组成规律，以及在荷载作用下结构和构件的强度、刚度和稳定性问题。具体来说，建筑力学将讨论下列几个方面的内容：力系的简化和力系平衡问题。......
2023-08-26
建筑力学：对称性的应用
【摘要】：工程实际中的结构很多都是对称的，利用其对称性即可达到简化计算的目的。由图乘法可得：这样力法典型方程就简化为由此可知，力法典型方程将分为两组：一组只包含对称的未知力，即X1、X2；另一组包括反对称的未知力X3。（二）半刚架法对称结构承受对称荷载作用时，可利用上述结论，简化截取对称结构的一半来进行计算，这个方法称为半刚架法。
用力法求解超静定结构时，结构的超静定次数越高，则需计算的系数及自由项的数目就越多。若要使计算简化，就要设法使力法典型方程中的系数和自由项数值尽可能多地为零。由于主系数永远是大于零的数值，因此，应使力法方程中尽可能多的副系数等于零。而达到这一目的的方法是利用对称性合理地选择基本结构，以及合理地设置基本未知量。
工程实际中的结构很多都是对称的，利用其对称性即可达到简化计算的目的。图15-15所示的结构都是对称结构，它们都具有对称轴。所谓对称结构，是指结构的几何形状和支承情况对某轴对称；杆件截面和材料性质也对此轴对称，即EI或EA值均相同。
图15-15
作用在对称结构上的任何荷载[图15-16（a）]都可分解为两组：一组是正对称荷载[图15-16（b）]；另一组是反对称荷载[图15-16（c）]。正对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载彼此重合（作用点对应、数值相等、方向相同）；反对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载正好相反（作用点对应、数值相等、方向相反）。
图15-16
（一）选取对称基本结构
图15-16（a）所示的刚架为对称结构，可选取图15-17（a）所示的基本结构，即在对称轴处切开，以多余未知力X1、X2、X3代替所去掉的三个多余联系。其中，多余未知力X1、X2为正对称未知力，X3为反对称未知力。根据切口处两侧截面的相对位移为零的条件，可建立力法典型方程如下：
图15-17
图15-17（b）、（c）、（d）所示为相应的单位力弯矩图。显然，
图是正对称的；
图是反对称的。由图乘法可得：
这样力法典型方程就简化为
由此可知，力法典型方程将分为两组：一组只包含对称的未知力，即X1、X2；另一组包括反对称的未知力X3。因此，解方程组的工作得到简化。
上述结果具有普遍性。即对于对称结构，如选取对称的基本结构，多余未知力都是正对称力或反对称力，则力法典型方程必然分解成独立的两组，一组只包含对称未知力；另一组只包含反对称未知力。
现在作用在结构上的外荷载是非对称的[图15-16（a）]，若将此荷载分解为正对称和反对称的两种情况[图5-16（b）、（c）]，则计算还可进一步得到简化。
（1）正对称荷载。以图15-16（b）所示正对称荷载为例，此时基本结构的荷载弯矩图MP是正对称的[图15-18（a）]。由于
图是反对称的，因此可得：
图15-18
代入前述简化后的力法典型方程第三式，得：
由此得出结论：对称结构在正对称荷载作用下，只有对称的多余未知力存在，而反对称的多余未知力必为零。也就是说，基本体系上的荷载和多余未知力都是对称的，故原结构的受力和变形也必是对称的，没有反对称的内力和位移。
（2）反对称荷载。以图15-16（b）所示反对称荷载为例，此时基本结构的荷载弯矩图MP是反对称的[图15-18（b）]。由于
图是正对称的，因此可得：
代入前述简化后的力法典型方程第一式和第二式，得：
由此得出结论：对称结构在反对称荷载作用下，只有反对称的多余未知力存在，而正对称的多余未知力必为零。也就是说，基本体系上的荷载和多余未知力都是反对称的，故原结构的受力和变形也必是反对称的，没有对称的内力和位移。
（二）半刚架法
对称结构承受对称荷载作用时，可利用上述结论，简化截取对称结构的一半来进行计算，这个方法称为半刚架法。
1.对称结构承受正对称荷载
（1）奇数跨对称结构。图15-19（a）所示的单跨刚架，在正对称荷载作用下，由于变形和内力对称，位于对称轴上的截面C，不会产生转角和水平线位移，但可以发生竖向线位移；同时，在该截面上将有弯矩和轴力，没有剪力。因此，在截取其一半计算时，在该截面处用两根平行链杆代替原有的约束，而得到如图15-19（b）所示的半刚架。
（2）偶数跨对称结构。图15-20（a）所示的两跨刚架，在正对称荷载作用下，截面C没有转角和水平线位移，若不考虑中间竖轴的轴向变形，C处也没有竖向线位移。因此，可将此处用固定支座代替，而得到如图15-20（b）所示的半刚架。
图15-19
图15-20
2.对称结构承受反对称荷载
（1）奇数跨对称结构。图15-21（a）所示的单跨刚架，在反对称荷载作用下，由于变形和内力反对称，对称轴上的截面C不可能产生竖向线位移，只可能产生转角和水平线位移；同时，在该截面上只有剪力，没有弯矩和轴力，因此，在截取其一半计算时，在该处可用竖向链杆支座代替原有的约束，而得到图15-21（b）所示的半刚架。
图15-21
（2）偶数跨对称结构。图15-22（a）所示的两跨刚架，在反对称荷载作用下，可设想将中间柱分成两根分柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半，这相当于在两根分柱之间增加了一跨，但其跨度为零，如图15-22（b）所示。取半结构如图15-22（c）所示。因为忽略轴向变形的影响，半结构也可按图15-22（d）选取。中间柱CD的内力为两根分柱内力之和。由于分柱的弯矩和剪力相同，轴力绝对值相同而正负号相反，故中间柱的弯矩和剪力为分柱的弯矩和剪力的两倍，轴力为零。
图15-22
当按上述方法取出半结构后，即可按解超静定结构的方法绘制出其内力图，然后再根据对称关系绘制出另外半边结构的内力图。
【例15-4】 利用对称性，计算图15-23（a）所示的刚架，并绘制最后弯矩图。各杆的EI均为常数。
【解】 此刚架为对称的三次超静定结构，且荷载是非对称的。现将荷载分解为正对称荷载和反对称荷载两种情况，如图15-23（b）、（c）所示。在正对称荷载作用下，只有横梁CD产生轴力，其他各杆弯矩均为零，反对称荷载作用下的弯矩图即原结构的弯矩图，因此，只需对反对称荷载作用下的情况进行计算即可。刚架在反对称荷载作用下的半刚架如图15-23（d）所示。
图15-23
（1）选取基本体系。半结构为一次超静定结构，取图15-23（e）所示的基本体系。
（2）建立力法典型方程。
（3）求系数和自由项。绘制出单位弯矩图
和荷载弯矩图MP，如图15-23（f）、（g）所示。计算各系数和自由项如下：
（4）求多余未知力。代入力法方程，得
（5）绘制最后弯矩图。半刚架中各杆件杆端弯矩可按M＝
X1＋MP计算，根据对称性，最后的弯矩图如图15-23（h）所示。
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