对于由多个弯曲刚度EI为常数的杆段组成的结构，用图乘法计算位移的公式为显然，图乘法是将积分运算问题简化为求图形的面积、形心和竖标的问题。需要说明的是，用图乘法计算位移时，梁和刚架的杆件必须满足以下条件：杆段的弯曲刚度EI为常数。下面给出了图乘运算中几种常见图形的面积及其形心位置，如图13-14所示。......
2023-06-16
建筑力学第3版：图乘法使用条件简介
【摘要】：计算梁或刚架的位移时，结构的各杆段若满足以下三个条件，就可以用图乘法来计算：一是杆轴为直线；二是EI为常数；三是 与MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。如图14-13所示，设结构上AB杆段为等截面直杆，EI为常数， 图为一段直线，而MP图为任意形状。
计算梁或刚架的位移时，结构的各杆段若满足以下三个条件，就可以用图乘法来计算：一是杆轴为直线；二是EI为常数；三是
与MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
如图14-13所示，设结构上AB杆段为等截面直杆，EI为常数，
图为一段直线，而MP图为任意形状。现以
图的基线为x轴，以
图的延长线与x轴的交点O为原点，建立xOy坐标系，则：
图14-13
式中，
因随直线变化，故有：
用dx代替ds，EI为常量，故式（14-22）可写成：
式中，dω＝MPdx为MP图中阴影线的微面积。故xdω是这个微面积dω对y轴的一次矩。因而，
为整个MP图的面积对y轴的一次矩。根据面积矩定理，它应等于MP图的面积ω乘以其形心C到y轴的距离xC，即
代入式（14-23），则有：
但xCtanα＝yC，这里yC为MP图的形心C处所对应的
图的竖标（纵坐标），故式（14-24）又可写成：
由此可知，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面积ω乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以EI，将积分运算转化为数值乘除运算，此法即称为图乘法。
如果结构上各杆段均可图乘，则位移计算式（14-22）可写成：
式（14-26）就是图乘法所使用的公式。它将积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法计算时应注意以下几点：
（1）杆件应是等截面直杆，且EI为常数；
（2）MP图和
图中，至少有一个直线图形，标距yC应取自直线图中；
（3）正负号规则：面积ω与标距yC在杆件同侧时取正号，异侧时取负号。
为了图乘方便，必须熟记几种常见几何图形的面积公式及形心位置，如图14-14所示。值得注意的是：抛物线的顶点处的切线与基线平行时此抛物线才是标准抛物线，才能应用式（14-26）计算，否则不能应用。
图14-14
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