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荷载下的静定结构位移计算（建筑力学）

2023-08-26 理论教育版权反馈

【摘要】：图14-10利用单位荷载法计算结构位移的步骤如下：根据欲求位移选定相应的虚拟状态。列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程。试计算图14-11所示的等截面简支梁中点C的竖向位移ΔCV。由于桁架及荷载对称，故只需计算一半桁架的内力。将各杆的内力代入位移计算公式得：计算结果为正值，表明C点的位移方向与虚设单位力PK的方向相同。

对梁或刚架等弯曲变形的结构，可以证明，轴力和剪力对结构位移的影响相对于弯矩来说很小，在计算时可以忽略不计，因此对这类结构，位移计算公式可采用下述简化公式：

而在桁架中，只存在轴力，且同一杆件的轴力N、NP及EA沿杆长l均为常数，因此，位移计算可采用如下简化形式：

应特别强调的是：单位荷载必须根据所求位移而假设，也即虚设单位荷载必须是与所求广义位移相对应的广义力。例如，图14-10（a）所示的悬臂刚架，横梁上作用有竖向荷载q，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单位荷载有以下几种不同情况：

（1）欲求A点的水平线位移时，应在A点沿水平方向加一单位集中力，如图14-10（b）所示。

（2）欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶，如图14-10（c）所示。

（3）欲求A、B两点的相对线位移（即A、B两点之间相互靠拢或拉开的距离），应在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图14-10（d）所示。

（4）欲求A、B两截面的相对角位移，应在A、B两截面处加一对反向的单位力偶，如图14-10（e）所示。

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图14-10

利用单位荷载法计算结构位移的步骤如下：

（1）根据欲求位移选定相应的虚拟状态。

（2）根据所要求的位移，虚设相应的单位荷载。

（3）列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程。

（4）将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分求总和即可计算出所求位移。

【例14-1】　试计算图14-11（a）所示的等截面简支梁中点C的竖向位移ΔCV。已知EI为常数。

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图14-11

（a）实际状态；（b）虚拟状态

【解】　（1）在C点加一竖向单位荷载作为虚拟状态[图14-11（b）]，分段列求出单位荷载作用下梁的弯矩方程。设以A为坐标原点，则当0≤x≤时，有

（2）实际状态下[图14-11（a）]杆的弯矩方程：

（3）因为结构对称，所以由式（14-19）得

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计算结果为正，说明C点竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同。

【例14-2】　试计算图14-12（a）所示桁架节点C的竖向位移ΔCV，设各杆的EA都相同。

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图14-12

【解】　（1）确定虚设状态。如图14-12（b）所示，在C点处沿所求位移方向虚设一单位集中力PK＝1。

（2）计算两种状态下各杆的内力。由于桁架及荷载对称，故只需计算一半桁架的内力。计算结果如图14-12（a）、（b）所示。

（3）计算ΔCV。将各杆的内力代入位移计算公式得：

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计算结果为正值，表明C点的位移方向与虚设单位力PK的方向相同。