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建筑力学（第3版）中荷载作用下位移计算的通用公式

2023-08-26 理论教育版权反馈

【摘要】：利用虚功原理推导结构在荷载作用下位移计算的一般公式，首先要确定力状态和位移状态。利用式计算结构位移时，应根据结构的具体情况，只考虑其中一项或两项。这种用虚设单位荷载产生的内力，在实际状态荷载所引起的位移上做虚功，而利用虚功原理计算结构位移的方法，称为单位荷载法。单位荷载法计算位移公式适用于弹性材料和非弹性材料，可以用于计算静定结构的位移，也可以用于计算超静定结构的位移。

利用虚功原理推导结构在荷载作用下位移计算的一般公式，首先要确定力状态和位移状态。

如图14-9（a）所示，结构在荷载q作用下发生了如图中的虚线所示变形。下面来求结构上任一截面沿任一指定方向上的位移，如K截面的水平位移ΔK。

由于所求为实际荷载q作用下结构的位移，故应以图14-9（a）为结构的位移状态（实际状态）。为了建立虚功方程，需要人为地另建立一个虚拟的力状态。为此，在K点上作用一个水平的单位荷载PK＝1，它应与ΔK相对应，如图14-9（b）所示。

虚拟状态中的外力所做虚功：

式（14-14）说明，当PK＝1时，外力虚功在数值上恰好等于所要求的位移ΔK。

为了计算虚拟状态中的内力所做的虚功W′，首先在图14-9（a）上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的内力MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为dθ、dη、dλ，分别如图14-9（c）、（d）、（e）所示，其计算式分别如下：

相对转角

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相对剪切位移

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相对轴向位移

式中，K是与杆横截面形状有关的系数。对于矩形截面，K＝；对于圆形截面，K＝。

同__样在图14-9（b）所示的虚拟状态中从结构的相应位置取微段ds，该微段两端所受内力为，如图14-9（f）、（g）、（h）所示，其中已略去了内力的高阶微量。

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图14-9

微段上虚内力在实际变形上所做内力虚功为

整根杆件的内力虚功可由积分求得为

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当结构由多根杆件组成时，可分别求得各杆段的虚功，再求总和就是结构内力虚功，即

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由虚功原理得：

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式（14-18）中右边第一、二、三项分别是弯矩、剪力、轴力所引起的位移。这就是变形体在荷载作用下位移计算的一般公式。它只要求结构处于平衡状态和变形微小两个条件。利用式（14-18）计算结构位移时，应根据结构的具体情况，只考虑其中一项或两项。例如，对于梁、刚架应取第一项，对于桁架应取第三项。

这种用虚设单位荷载产生的内力，在实际状态荷载所引起的位移上做虚功，而利用虚功原理计算结构位移的方法，称为单位荷载法。单位荷载法计算位移公式适用于弹性材料和非弹性材料，可以用于计算静定结构的位移，也可以用于计算超静定结构的位移。