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建筑力学第3版：弹性体系的互等定理

2023-08-26 理论教育版权反馈

【摘要】：线性变形体系的功的互等定理和位移互等定理在位移计算及分析超静定结构时将会用到。代入功的互等定理式，则有：即式即弹性结构的位移互等定理表达式。

线性变形体系的功的互等定理和位移互等定理在位移计算及分析超静定结构时将会用到。

1.功的互等定理

功的互等定理是指同一弹性结构在两种不同状态下的虚功相等。如图14-4所示的简支梁，分别作用两组外力P1与P2，并分别称为第一状态[图14-4（a）]和第二状态[图14-4（b）]。计算第一状态的外力及其所引起的内力在第二状态的相应位移和变形上所做的虚功T12和W12时，据虚功原理有T12＝W12，即

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图14-4

式中　Δ12——由P2力引起的在P1力作用点沿P1力方向的位移。

反之，计算第二状态的外力及其所引起的内力在第一状态的相应位移和变形上所做的虚功T21和W21时，据虚功原理有T21＝W21，即

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式中　Δ21——由P1力引起的在P2力作用点沿P2力方向的位移。

比较式（14-8）和式（14-9），有：

也可写为

式（14-11）表明，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。

功的互等定理可以推广到任何弹性结构。

2.位移互等定理

在功的互等定理中，假如两个状态中的荷载是单位力时（P1＝1，P2＝1），为了明显起见，由单位力所引起的位移，用小写字母δ12、δ21表示，如图14-5所示。代入功的互等定理式（14-10），则有：

即

式（14-12）即弹性结构的位移互等定理表达式。该定理表明：对任何弹性结构，单位力P2＝1在单位力P1作用点的截面产生的位移δ12（沿P1方向），等于单位力P1＝1在单位力P2作用点的截面产生的位移δ21（沿P2方向）。

这里的单位力是广义单位力，位移是相应的广义位移。例如，在图14-6的两个状态中，根据位移互等定理，应有φA＝fC。实际上，由材料力学可知：

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图14-5

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图14-6

现在P＝1、M＝1（这里的1都是不带单位的，即都是无量纲量），故有。可见，虽然φA代表单位力引起的角位移，fC代表单位力偶引起的线位移，含义不同，但此时二者在数值上是相等的，量纲也相同。

3.反力互等定理

反力互等定理也是功的互等定理的一个特殊情况，并且只适用于超静定结构。该定理将在用位移法计算结构中得到应用。

在一个结构的诸约束中任取两个约束——约束1及约束2。在图14-7（a）所示结构中约束1是固定端中限制转角的约束，约束2是右端支杆。

考察两种状态：令约束1发生单位位移，即Δ1＝1，在支座2引起支座反力R21，此为状态1，如图14-7（a）所示；令约束2发生单位位移，即Δ2＝1，在支座1引起支座反力R12，此为状态2，如图14-7（b）所示（这里R表示单位位移引起的支座反力，第一个角标表示发生反力的地点和方向，第二个角标表示引起反力的原因）。

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图14-7

由功的互等定理可得：

因为Δ1＝Δ2＝1，故：

式（14-13）称为反力互等定理，即支座1发生单位位移时在支座2处引起的反力（R21），等于支座2发生单位位移时在支座1处引起的反力（R12）。

需要指出的是，这里R21与R12拥有相同的量纲。这是因为它们并非一个是支杆反力，一个是反力偶，而都是约束反力与引起此反力的位移的比值，它们是反力系数，乘以位移后得反力，不拥有反力的量纲。

反力互等定理对结构上任何两个支座都适用，但应注意反力与位移在做功的关系上应相适应。力对应于线位移，力偶对应于角位移。

图14-8（a）、（b）所示为一个反力互等的例子。应用上述定理可知反力R12与反力偶R21相等，虽然它们一个代表力，一个代表力偶，两者含义不同，但在数值上是相等的。

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图14-8

最后需要指出的是，上述几个互等定理，与叠加法一样，仅适用于线性弹性体系，即

（1）应力在弹性范围内，且应力与应变成正比。

（2）结构变形微小，内力可在未变形位置上计算。