建筑力学的任务是研究结构的几何组成规律，以及在荷载作用下结构和构件的强度、刚度和稳定性问题。具体来说，建筑力学将讨论下列几个方面的内容：力系的简化和力系平衡问题。......
2023-08-26
建筑力学（第3版）：变形体虚功原理
【摘要】：（二）变形体的虚功原理前面所讲到的简支梁，在力P1作用下会引起内力，那么，内力在其本身引起的变形上所做的功，称为内力实功，用表示；P1所做的功W11称为外力实功。计算结构位移时，需要用到的是虚力原理，不过习惯上仍称它为虚功原理，以下仍沿用这一称呼。
（一）基本概念
1.功、广义力和广义位移
由物理学可知，功与力和位移两个因素有关，功的大小等于力和位移的乘积，即
式中 P——力或力偶，称为广义力；
Δ——与广义力相应的线位移或角位移，称为广义位移。
如广义力是集中力时，广义位移为线位移；若广义力是力偶时，广义位移为转角。
功可以为正，也可以为负，还可以为零。当P与Δ方向相同时，为正；反之，则为负。若P与Δ方向相互垂直时，功为零。
2.实功与虚功
实功是指外力或内力在自身引起的位移上所做的功。如图14-2（a）所示的简支梁，设其在P1作用下达到平衡时，P1作用点沿P1方向上产生的位移为Δ11。这里Δ11用了两个角标，第一个角标“1”代表位移发生的地点和方向，即此位移是P1作用点沿P1方向上的位移；第二个角标“1”表示引起位移的原因，即此位移是由于P1作用而引起的。荷载P1在位移Δ11上所做的功W11即为实功，则
式（14-2）中含系数“
”是因为当荷载从零逐渐增大到最后值P1时，由它引起的位移从零逐渐增大到最后值Δ11，两者成线性函数关系。
图14-2
外力（内力）在其他原因引起的位移上所做的功则称为虚功。如图14-2（b）所示，当第一组荷载P1作用于结构达到稳定平衡后，再加上第二组荷载P2，这时结构将继续变形，而引起P1作用点沿P1方向产生新的位移Δ12，因而P1将在Δ12位移上做功，这时所做的功即为虚功。由于位移Δ12由零增加至最终值的过程中，P1保持不变是常力，因此P1沿Δ12做的功为
所谓虚功并非是不存在的意思，“虚”字强调做功过程中位移与力相互独立且无关的特点。
应该指出，当其他因素引起的位移与力的方向一致时虚功为正值；反之则为负值。而实功由于力自身所引起的相应位移总是与力的作用方向相一致，故总为正值。
3.实功原理
结构受到外力作用而发生变形，则外力在发生变形过程中做了功。如果结构处于弹性阶段范围，当外力去掉后，该结构将能恢复到原来变形前的位置，这是由于弹性变形使结构积蓄了做功的能量，这种能量称为变形能。由此可见，结构之所以有这种变形，实际上是结构受到外力做功的结果，也就是功与能的转化。根据能量守恒定律可知，在加载过程中外力所做的实功W将全部转化为结构的变形能，用U表示，即
从另一个角度讲，结构在荷载作用下产生内力和变形，那么内力也将在其相应的变形上做功，而结构的变形能又可用内力所做的功来度量。这个功能原理，称为弹性结构的实功原理。
（二）变形体的虚功原理
前面所讲到的简支梁，在力P1作用下会引起内力，那么，内力在其本身引起的变形上所做的功，称为内力实功，用
表示；P1所做的功W11称为外力实功。力P1作用下引起的内力在其他原因（如P2）引起的变形上所做的功，称为内力虚功；用
表示。P1所做的功W12称为外力虚功。在该系统中，外力P1和P2所做的总功为
而P1和P2引起的内力所做的总功为
根据能量守恒定律，应有W外＝W内，即
根据实功原理，可知：
由此可得
式（14-7）又称为虚功方程。
在上述情况中，P1和P2是彼此独立无关的。P1视为第一组力先加在结构上；P2视为第二组力后加在结构上。其表明，结构的第一组外力在第二组外力所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所做的内力虚功。
为了便于应用，现将图14-2（b）中的平衡状态分为图14-3（a）和图14-3（b）两个状态。图14-3（a）的平衡状态称为第一状态（力状态）；图14-3（b）的平衡状态称为第二状态（位移状态）。此时，虚功原理又可以描述为：第一状态（力状态）下的外力在第二状态（位移状态）下相应的位移上所做的外力虚功，等于第一状态（力状态）下的内力在第二状态（位移状态）下相应的变形上所做的内力虚功。
图14-3
必须指出，力状态和位移状态是同一体系的两种彼此无关的状态，因此，不仅可以将位移状态看作是虚设的，也可以将力状态看作是虚设的，它们各有不同的应用。若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理；反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理。计算结构位移时，需要用到的是虚力原理，不过习惯上仍称它为虚功原理，以下仍沿用这一称呼。
虚功原理既适用于静定结构，也适用于超静定结构。
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