当P 点偏离原位置后，2 个杆与刚片构成三角形，成为几何不变体系。将这样的在原位置上可以发生微小运动，运动后成为几何不变的体系称为瞬变体系。由此可得：规则 1：1 个点和1 个刚片用2 根不在同一直线上的链杆相连，构成内部几何不变且无多余约束的体系。二元片的构造不改变原体系的自由度。......
2023-08-30
几何不变体系基本规则|建筑力学第3版
【摘要】：工程结构必须采用几何不变体系，本节讨论无多余的几何不变体系的基本组成规则。无多余约束是指体系内的约束恰好使该体系称为几何不变体系。只要去掉任何一个约束就会使体系变成几何可变体系。这个几何不变体系的基本规则称为铰接三角形规则。在原体系上增加或减少若干个二元体不改变原体系的几何组成性质。由此可见，两刚片用一个铰和一根链杆相连，且链杆与此铰不共线，组成几何不变体系，且无多余约束。
工程结构必须采用几何不变体系，本节讨论无多余的几何不变体系的基本组成规则。无多余约束是指体系内的约束恰好使该体系称为几何不变体系。只要去掉任何一个约束就会使体系变成几何可变体系。
实践证明，铰接三角形是几何不变体系。如果将图12-9（a）所示铰接三角形ABC中的铰A拆开：杆AB可绕点B转动，杆AB上点A的轨迹是弧线①；这两个弧线只有一个交点，所以点A的位置时唯一的，三角形ABC的位置是不可改变的。这个几何不变体系的基本规则称为铰接三角形规则。铰接三角形规则的表达方式有二元体规则、两刚片规则和三刚片规则。
1.二元体规则
二元体是结构力学中的一个模型，是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新节点的装置。
二元体规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。
二元体规则是分析一个点与一个刚片之间应当怎样连接才能组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形是最基本的几何不变体系。如图12-9（a）所示，在铰接三角形中，将BC看作刚片Ⅰ，AB、AC看作连接A点和刚片Ⅰ的两根链杆，体系仍然是几何不变体系。由此得规律：一个点和一个刚片用两根不共线的链杆相连，组成几何不变体系，且无多余约束。
为了叙述方便，将刚片Ⅰ上的AB、AC链杆组成的结点A称为二元体，用B－A－C表示。在原体系上增加或减少若干个二元体不改变原体系的几何组成性质。
图12-9（b）中，A点通过两根不共线的链杆与刚片Ⅰ相连，组成几何不变体系，其中的第三根链杆是多余约束。图12-9（c）中①、②两根链杆共线，体系为瞬变体系，它是可变体系中的一种特殊情况。
2.两刚片规则
两刚片规则：两刚片用不在一条直线上的一个铰（B铰）和一根链杆（AC链杆）连接，则组成无多余约束的几何不变体系。
两刚片规则是分析两个刚片如何连接才能组成几何不变体系，且没有多余约束。此规则也可由铰接三角形推得。如图12-10（a）所示，将AB、BC分别看作刚片Ⅰ、刚片Ⅱ，将AC看作链杆①，体系仍然为几何不变体系。由此可见，两刚片用一个铰和一根链杆相连，且链杆与此铰不共线，组成几何不变体系，且无多余约束。
图12-9
一个单铰相当于两根链杆约束，所以两根链杆可以代替一个铰。因此又得到图12-10（b）所示的图形是几何不变的，分析此图又得出两刚片规则的第二个规则：两刚片用3根既不全平行又不全交于一点的链杆相连，组成几何不变体系，且无多余约束。
在图12-10（c）中，链杆①、②、③平行，体系为几何可变体系。在图12-10（d）、（e）中，连接两刚片的三根链杆相交于一点，均为几何可变体系。
图12-10
3.三刚片规则
三刚片规则：三刚片用不在一条直线上的三个铰两两连接，则组成无多余约束的几何不变体系。
三刚片规则是分析三个刚片的连接方式。图12-11（a）中，将铰接三角形中的AB、BC、AC分别看作刚片Ⅰ、刚片Ⅱ、刚片Ⅲ，由此得三刚片规则：三个刚片用三个不在同一直线上的铰两两相连，则组成的体系为几何不变体系，且无多余约束。
在图12-11（b）所示的体系中，两根链杆中的交点称为实铰；两链杆的延长线的交点称为虚铰。虚铰和实铰的作用是一样的。因此，图12-9（b）中体系是几何不变体系，且无多余约束。
综上所述，这三个规则及其推论，实际上都是三角形规律的不同表达方式，即三个不共线的铰，可以组成无多余约束的铰接三角形体系。
图12-11
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