下面结合图10-7所示的受力杆件，说明拉（压）、弯组合变形时的正应力及其强度计算。图10-6图10-7计算杆件在拉（压）、弯组合变形下的正应力时，与斜弯曲类似，仍采用叠加的方法，即分别计算杆件在轴向拉伸（压缩）和弯曲变形下的应力，再代数相加。用式计算正应力时，应注意正、负号：轴向拉伸时，σ′为正；压缩时，σ′为负。最大拉应力为最大压应力为......
2023-08-26
偏心拉伸的强度计算与截面核心|建筑力学（第3版）
【摘要】：偏心拉伸（压缩）是相对于轴向拉伸（压缩）而言的。单向偏心拉伸（压缩）时，杆件横截面上最大正应力的位置很容易判断。所以，双向偏心拉伸（压缩）实际上是轴向拉伸（压缩）与两个平面弯曲的组合变形。这就要求将偏心压力控制在某一区域范围内，从而使截面上只有压应力而无拉应力。这一范围即截面核心。
偏心拉伸（压缩）是相对于轴向拉伸（压缩）而言的。轴向拉伸（压缩）时外力P的作用线与杆件轴线重合，当外力P的作用线只平行于杆件轴线而不与轴线重合时，则称为偏心拉伸（压缩）。偏心拉伸（压缩）可分解为轴向拉伸（压缩）和弯曲两种基本变形，也是一种组合变形。
偏心拉伸（压缩）可分为单向偏心拉伸（压缩）和双向偏心拉伸（压缩）。本节将分别讨论这两种情况下的应力计算。
1.单向偏心拉伸（压缩）
图10-10（a）所示的矩形截面偏心受拉杆件，外力P的作用点位于截面的一个形心主轴（对称轴y）上，这类偏心拉伸称为单向偏心拉伸；当P为压力时，称为单向偏心压缩。
计算单向偏心拉伸（压缩）杆件的正应力时，是将外力P平移到截面形心处，使其作用线与杆件轴线重合，同时附加一个Mz＝Pe的力偶[图10-10（b）]。此时，P使杆件发生轴向拉伸，而Mz使杆件发生平面弯曲，即单向偏心拉伸（压缩）为轴向拉伸（压缩）与平面弯曲的组合变形。与前一节类似，此时横截面上任一点的正应力计算公式为
式中，Mz＝Pe，e为偏心距（正应力仍是以拉为正，压为负）。
单向偏心拉伸（压缩）时，杆件横截面上最大正应力的位置很容易判断。例如，图10-10（b）所示的情况，最大拉应力显然位于截面的右边缘处，其值为
【例10-4】 图10-11（a）所示的矩形截面偏心受压柱中，外力P的作用点位于y轴上，偏心距为e，P、b、h均为已知，试求柱的横截面上不出现拉应力时的最大偏心距。
【解】 P平移到截面形心处后，附加的对z轴的力偶矩为Mz＝Pe[图10-11（b）]。
在P的作用下，横截面上各点均产生压应力[图10-11（c）]，其值σN＝－
。在Mz作用下，截面上z轴左侧受拉，最大拉应力发生在截面的左边缘处[图10-11（d）]，其值为
。若要使横截面上不出现拉应力，应使P与Mz共同作用下截面左边缘处的正应力等于零，即也即
图10-10
图10-11
从而解得
由此结果可知，当压力P作用在y轴上时，只要偏心距e≤
，截面上就不会出现拉应力。当e＝
时，正应力（均为压应力）沿截面h方向的分布规律如图10-11（e）所示。
2.双向偏心拉伸（压缩）
图10-12（a）所示的偏心受拉杆，平行于杆件轴线的拉力P的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z、y轴的距离分别为ey和ez，此类偏心拉伸称为双向偏心拉伸，当P为压力时，称为双向偏心压缩。
图10-12
计算此类杆件任一点正应力的方法，与单向偏心拉伸（压缩）类似。仍是将外力P平移到截面的形心处，使其作用线与杆件的轴线重合，但平移后附加的力偶不是一个，而是两个。两个力偶的力偶矩分别是P对z轴的力矩Mz＝Pey和P对y轴的力矩My＝Pez[图10-12（b）]。此时，P使杆件发生轴向拉伸，Mz使杆件在xOy平面内发生平面弯曲，My使杆件在xOz平面内发生平面弯曲。所以，双向偏心拉伸（压缩）实际上是轴向拉伸（压缩）与两个平面弯曲的组合变形。
在轴向外力P作用下，横截面上任一点的正应力为
Mz和My单独作用下，同一点的正应力分别为
和
三者共同作用下，该点的压应力则为
或
式（10-14a）与式（10-14b）既适用于双向偏心拉伸，又适用于双向偏心压缩。式中，第一项拉伸时为正，压缩时为负。式中，第二项和第三项的正负，则是依照求应力点的位置，由变形来确定。例如，确定图10-12（b）中ABCD面上A点正应力的正负时，Mz作用下A点处于受拉区，所以第二项为正。My作用下A点处于受压区，则第三项为负。
对矩形、I形等具有两个对称轴的截面，最大拉应力或最大压应力都是发生在截面的角点处，其位置均不难判定。
【例10-5】 矩形截面偏心受压杆如图10-13（a）所示，P、b、h均为已知，试求杆中的最大压应力。
图10-13
【解】 此题为双向偏心压缩。将P平移到截面的形心处并附两个力偶[图10-13（b）]，两力偶的力偶矩分别为
以ABCD截面为例，Mz单独作用下AB线上各点的压应力最大，My单独作用下AD线上各点压应力最大，所以，P、Mz、My共同作用下最大压应力发生在A点。因杆件各截面上的内力（N、Mz、My）情况相同，故EF线上各点的压应力值相同，杆中的最大压应力为
3.截面核心
从前面的分析可知，当构件受偏心压缩时，横截面上的应力由轴向压力引起的应力和偏心弯矩引起的应力组成。当偏心压力的偏心距较小时，则相应产生的偏心弯矩较小，从而使由偏心弯矩引起的应力不大于轴向压力引起的应力，即横截面上就只会有压应力而无拉应力。
在工程上，有不少材料的抗拉性能较差而抗压性能较好且价格便宜，如砖、石材、混凝土、铸铁等。用这些材料制造的构件，适用于承压，在使用时要求在整个横截面上没有拉应力。这就要求将偏心压力控制在某一区域范围内，从而使截面上只有压应力而无拉应力。这一范围即截面核心。因此，截面核心是指截面形心附近的一个区域，当纵向偏心力的作用点位于该区域内时，整个截面上只产生同一种正负号的应力（拉应力或压应力）。
截面核心是截面的一种几何特征，它只与截面的形状和尺寸有关，而与外力的大小无关。
下面举例说明截面核心的简单求法。
【例10-6】 图10-14所示为一矩形截面，已知边长分别为b和h，求此截面核心。
图10-14
【解】 （1）先设偏心压力作用于y轴上距离原点O偏心距为e1处，根据截面核心的概念，应有：
式中，Mz＝N·e1；Wz＝
hb2；A＝bh。
整理后，得
（2）若将偏心压力作用于z轴上距原点的偏心距为e2处，则同样得到
（3）将偏心压力作用于截面上任一点，则根据式（10-14a）或式（10-14b）及偏心压力的概念推出，当偏心压力作用位置位于如图10-14所示矩形中的菱形阴影部分时，截面上的应力全部为压应力。故矩形截面的截面核心即是图10-14所示的菱形阴影部分。
同理，可以证明圆形截面的截面核心仍为圆形，其直径为原直径的
，如图10-15所示；I形、槽形截面的截面核心为菱形，如图10-16所示。
图10-15
图10-16
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