建筑力学第3版：斜弯曲变形的应力与强度计算

2023-08-26 理论教育版权反馈

【摘要】：图10-3斜弯曲是两个平面弯曲的组合变形，这里将讨论斜弯曲时的正应力和正应力强度计算。也就是说，计算弯曲时的正应力，是将斜弯曲分解为两个平面弯曲，分别计算每个平面弯曲下的正应力，再进行叠加。将荷载F沿截面两对称轴方向分解为Fy和Fz，它们引起的跨中截面上的弯矩分别为梁中的最大正应力为满足正应力强度条件。

如前所述，对于横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成一条位于纵向对称面内的平面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。

试验及理论研究表明，当外力不作用在纵向对称平面内时，如图10-3所示。此时，梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。

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图10-3

斜弯曲是两个平面弯曲的组合变形，这里将讨论斜弯曲时的正应力和正应力强度计算。

1.正应力计算

斜弯曲时，梁的横截面上一般是同时存在正应力和剪应力，因剪应力值很小，一般不予考虑。下面结合图10-4（a）所示的矩形截面梁，说明正应力的计算方法。

计算某点的正应力时，将外力F沿横截面的两个对称轴方向分解为Fy和Fz，分别计算Fy和Fz单独作用下该点的正应力，再代数相加。Fy和Fz单独作用下梁的变形分别为在xy平面内和在xz平面内发生的平面弯曲。也就是说，计算弯曲时的正应力，是将斜弯曲分解为两个平面弯曲，分别计算每个平面弯曲下的正应力，再进行叠加。

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图10-4

由图10-4（a）可知，Fy、Fz分别为

距右端为a的任一横截面上由Fz和Fy引起的弯矩分别为

式中，M＝Fa是外力F引起的该截面上的弯矩。由Mz和My（即Fz和Fy）引起的该截面上一点K的正应力分别为

Fy和Fz共同作用下K点的正应力为

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或

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式（10-1a）或式（10-1b）就是梁斜弯曲时横截面任一点的正应力计算公式。式中，Iz和Iy分别为截面对z轴和y轴的惯性矩；y和z分别为所求应力点到z轴和y轴的距离[图10-4（b）]。

用式（10-1a）计算正应力时，应将式中的Mz、My、y、z等均以绝对值代入，σ′和σ″的正、负可根据梁的变形和求应力点的位置来判定（拉为正、压为负）。例如，图10-4（a）中A点的应力，Fy单独作用下梁向下弯曲。此时，A点位于受拉区，Fy引起的该点的正应力σ′为正值。同理，Fz单独作用下A点位于受压区，Fz引起的该点的正应力σ″为负值。

2.正应力强度条件

梁的正应力强度条件是荷载作用下梁中的最大正应力不能超过材料的许用应力，即

在做强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也由最大正应力控制。当将斜弯曲分解为两个平面弯曲后，很容易找到最大正应力的所在位置。例如，图10-4（a）所示的矩形截面梁，其左侧固端截面的弯矩最大，该截面为危险截面，危险截面上应力最大的点称为危险点。Mz引起的最大拉应力（σ′max）位于该截面上边缘bc线各点，My引起的最大拉应力（σ″max）位于cd线上各点。叠加后，bc与cd交点c处的拉应力最大。同理，最大压应力发生在e点。此时，依式（10-1a）或式（10-1b），最大正应力为

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或

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式中　Mmax——由力F引起的最大弯矩。

所以，斜弯曲时的强度条件为

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或

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与平面弯曲类似，利用式（10-2a）或式（10-2b）所示的强度条件，可解决工程中常见的三类典型问题，即校核强度、选择截面和确定许用荷载。在选择截面（即设计截面）时应注意：因式中存在两个未知的抗弯截面模量Wz和Wy，所以，在选择截面时，需先确定一个Wz/Wy的比值[对矩形截面，]，然后由式（10-2b）计算出Wz值，再确定截面的具体尺寸。