横截面上各点均无剪应变，故纯弯曲时，横截面上无剪应力。当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力；上部纤维缩短而产生压应力。进一步的研究表明，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。计算C截面上K点的正应力。在已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的情况下，可校核梁是否满足正应力强度条件，即校核是否满足式（9-9）。弯曲正应力强度条件。......
2023-08-26
建筑力学第3版：弯曲剪应力强度计算
【摘要】：在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。在选择梁的截面时，通常是先按正应力强度条件选择截面尺寸，然后再进行剪应力强度校核。对于某些特殊情况，梁的剪应力强度条件也可能起到控制作用。例如，梁的跨度很小，或在支座附近有较大的集中力作用，这时梁可能出现弯矩较小，而剪力却很大的情况，这就必须注意剪应力强度条件是否满足。校核正应力强度及剪应力强度。
在工程中，大多数梁是在横向力作用下发生弯曲，横截面上的内力不仅有弯矩，而且还有剪力。因此，横截面上除具有正应力外，还具有剪应力。
一般情况下，梁的弯曲正应力是梁强度计算的主要依据，但在某些特殊情况下，如梁的跨度较小（短粗梁）或截面高而窄（薄壁梁），弯矩较小而剪力较大的梁，其剪应力可能达到相当大的数值，就要求进行剪应力的强度计算。下面研究等直截面梁上的剪应力。
1.矩形截面梁的剪应力
对于高度h大于宽度b的矩形截面梁，其横截面上的剪力Q沿y轴方向，如图9-26（a）所示，现假设剪应力的分布规律如下：
（1）横截面上各点处的剪应力τ都与剪力Q方向一致；
（2）横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。
根据以上假设，可以推导出矩形截面梁横截面上任意一点处剪应力的计算公式为
式中 Q——横截面上的剪力；
Iz——横截面对中性轴的惯性矩；
图9-26
b——横截面的宽度；
——所求应力点的水平线到截面下（或上）边缘之间的面积A*对z轴的静矩。
如图9-26（b）所示的截面，y0是面积为A*的材料的形心纵坐标，则面积为A*的材料对z轴的静矩为
将上式及Iz＝bh3/12代入式（9-12），得：
式（9-13）表明，剪应力沿截面高度按二次抛物线规律变化[图9-26（c）]。在截面的上、下边缘
处的剪应力为零；在中性轴处（y＝0）的剪应力最大，其值为
即矩形截面上的最大剪应力为截面上平均剪应力（Q/A）的1.5倍，发生在中性轴上。
【例9-11】 一矩形截面简支梁如图9-27所示。已知l＝3m，h＝160mm，b＝100mm，h1＝40mm，P＝3kN，求截面m—m上K点的剪应力。
图9-27
【解】 （1）求支座反力及截面m—m上的剪力。
（2）计算截面的惯性矩及面积A*对中性轴的静矩分别为
（3）计算截面m—m上K点的剪应力。
【例9-12】 矩形截面梁（b×h）受均布荷载q作用，如图9-28（a）所示，试求σmax和τmax，并比较。
图9-28
【解】 作剪力图和弯矩图，如图9-28（b）、（c）所示。
则梁的最大正应力和最大剪应力分别为
两者比值为
2.I形及T形截面梁的剪应力
I形截面梁由上、下翼缘和腹板组成，如图9-29（a）所示。由于腹板为狭长矩形，仍可采用与矩形截面梁相同的假设。经过与矩形截面梁类似的推导，可得腹板上距中性轴y处点的剪应力为
式中 Iz——整个I形截面对中性轴的惯性矩；
——横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）至边缘部分面积A*对中性轴的静矩；
d——腹板的厚度。
剪应力沿腹板高度的分布，仍按抛物线分布，如图9-29（a）所示，最大剪应力τmax仍在截面的中性轴上。至于翼缘上的剪应力，其值则远小于腹板上的剪应力，在计算时可以不考虑，如图9-29（b）、（c）所示。
图9-29
T形截面也是工程中常用的截面形式，它是由两个矩形截面组成[图9-30（a）]。下面的狭长矩形与I形截面的腹板类似，这部分的剪应力仍用式（9-15）计算。剪应力的分布仍按抛物线规律变化，最大剪应力仍发生在中性轴上，如图9-30（b）所示。
3.圆形和圆环形截面梁的剪应力
圆形和圆环形截面的最大剪应力均发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，如图9-31所示。其值分别为
图9-30
图9-31
圆形截面
薄壁圆环形截面
另外，对箱形截面梁和T形截面梁都可采用式（9-15）计算其腹板上的剪应力，最大剪应力仍发生在截面的中性轴上。
4.梁的剪应力强度条件
为保证梁的剪应力强度，梁的最大剪应力不应超过材料的许用剪应力[τ]，即
式（9-16）称为梁的剪应力强度条件。
在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。但在一般情况下，正应力强度条件往往起主导作用。在选择梁的截面时，通常是先按正应力强度条件选择截面尺寸，然后再进行剪应力强度校核。对于细长梁，按正应力强度条件设计的梁一般都能满足剪应力强度要求，就不必做剪应力校核。对于某些特殊情况，梁的剪应力强度条件也可能起到控制作用。例如，梁的跨度很小，或在支座附近有较大的集中力作用，这时梁可能出现弯矩较小，而剪力却很大的情况，这就必须注意剪应力强度条件是否满足。又如，对组合工字钢梁，其腹板上的剪应力可能较大；对木梁，在木材顺纹方向的抗剪能力很差。这些情况都应注意，在进行正应力强度校核的同时，还要进行剪应力的强度校核。
【例9-13】 一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为22a，梁上荷载如图9-32（a）所示。已知l＝6m，p＝30kN，q＝6kN/m，[σ]＝170MPa，[τ]＝100MPa，检查此梁是否安全。
【解】 （1）绘剪力图、弯矩图，如图9-32（b）、（c）所示。
（2）由型钢表查得有关数据。
（3）校核正应力强度及剪应力强度。
所以，梁是安全的。
图9-32
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2023-08-26
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2023-08-26
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2023-08-26
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2023-08-26
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