在小变形条件下，梁的内力、支座反力、应力和变形等参数均与荷载呈线性关系，每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。为了便于应用叠加法绘制内力图，表9-1中给出了梁在简单荷载作用下的弯矩图，可供查用。由上例可以看出，用分段叠加法作外伸梁的弯矩图时，不需要求支座反力，就可以画出其弯矩图。......
2023-08-26
建筑力学第三版:梁内力图的列方程
【摘要】：下面举例说明列剪力方程、弯矩方程及绘制剪力图、弯矩图的方法。图9-10所示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。列弯矩方程，画弯矩图。
为了计算梁的强度和刚度，除要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值及它们所在的截面位置。
为了形象地表示内力变化规律，通常将剪力和弯矩沿梁轴的变化规律用图形来表示，如以x为横坐标轴，以Q或M为纵坐标轴，可分别绘制Q＝Q（x）和M＝M（x）的图形。这种图形分别称为梁的剪力图和弯矩图。在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴下方；而将弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴上方，如图9-9所示。
图9-9
通常，将Q＝Q（x）和M＝M（x）分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。下面举例说明列剪力方程、弯矩方程及绘制剪力图、弯矩图的方法。
【例9-3】 图9-10（a）所示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。
图9-10
【解】 （1）求支座反力。由对称性可知：
（2）列剪力方程和弯矩方程。取梁的左端为坐标原点，则
（3）画剪力图和弯矩图。由剪力方程可知，剪力图为一斜直线，此直线可通过两点画出：
当x＝0时，Q＝
ql；当x＝l时，Q＝－
作剪力图如图9-10（b）所示。
由弯矩方程可知，弯矩图为一抛物线，此抛物线至少需要知道三点的值才能确定。
当x＝0时，M（x）＝0；当x＝l时，M（x）＝0
当x＝l/2时，M（x）＝
所作弯矩图如图9-10（c）所示。
从剪力图和弯矩图中可得结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。在剪力等于零的截面上弯矩有极值。
【例9-4】 图9-11（a）所示的简支梁在C处受集中力FP作用，试绘制梁的剪力图和弯矩图。
【解】 （1）求支座反力。
由
＝0和
＝0分别求得：
（2）列剪力方程和弯矩方程。由于在截面C处作用集中力Fp，故将梁分成AC和CB两段，则：
AC段
CB段
（3）画剪力图和弯矩图。由剪力方程和弯矩方程作梁的剪力图和弯矩图，分别如图9-11（b）、（c）所示。从图中可以看出，在集中力作用处，剪力图发生突变，突变量等于该集中力的大小。
图9-11
从剪力图和弯矩图中可得结论：在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩图为斜直线。在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。
【例9-5】 图9-12（a）所示的简支梁在截面C处受集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
【解】 （1）求支座反力。由
＝0求得结果为
方向如图9-12（a）中所示。
剪力表达式为
该式适用于全梁，剪力图如图9-12（b）所示。
（2）列弯矩方程，画弯矩图。由于C处有集中力偶，弯矩表达式应分段列出。
AC段
CB段
两表达式均为x的一次函数，弯矩图为两段斜直线，通过
画出梁的弯矩图，如图9-12（c）所示。
图9-12
由图9-12（c）看到，在集中力偶作用处（C处），弯矩图不连续，C左侧截面的弯矩值为－
，C右侧截面的弯矩值为
，弯矩图在C点发生了“突变”，且突变的绝对值为
。此现象也是普遍情况，由此可得结论：在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变值等于该力偶的力偶矩。因此，当说明集中力偶作用处的弯矩时，必须指明是集中力偶的左侧截面还是右侧截面，两者是不同的。
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2023-08-26
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2023-08-26
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