平面一般力系平衡的充分与必要条件是：力系的主矢和主矩同时为零。上式称为平面一般力系的平衡方程，平面一般的平衡方程有三个，可求解最多三个未知量。显然各力作用线在同一平面内且任意分布，属于平面一般力系。列平衡方程要根据物体所受的力系类型列出。比如，平面任意力系只能列出三个独立的平衡方程，平面汇交力系或平面平行力系只能列两个；平面力偶系只能列一个；对于由n 个物体组成的系统，可列出3n 个。......
2023-06-19
平面一般力系的平衡方程解析
【摘要】：平面一般力系有三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。刚架受平面任意力系的作用，三个支座反力是未知量，可由平衡方程求出。（二）平衡方程的其他形式前面通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除此之外，还可以将平衡方程改写成二力矩式和三力矩式的形式。图4-7由上述可知，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程组，均可用来解决平面一般力系的平衡问题。
（一）平衡方程的基本形式
由于
于是平面一般力系的平衡条件为：
式（4-7）表明，平面一般力系处于平衡的充分必要条件是：力系中所有各力在x坐标轴上投影的代数和等于零；力系中所有各力在y轴上的投影的代数和为零；力系中各力对作用面内任一点的力矩的代数和等于零。
式（4-7）为平面一般力系的平衡方程的基本形式（一矩式平衡方程）。其中，前两式称为投影方程；后一式称为力矩方程。平面一般力系有三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。
【例4-1】 图4-5（a）所示的刚架AB受均匀分布风荷载的作用，单位长度上承受的风压为q（N/m），q为均布荷载集度。给定q和刚架尺寸，求支座A和B的约束反力。
图4-5
【解】 （1）取分离体，作受力图。取刚架AB为分离体。它所受的分布荷载用其合力Q代替，合力Q的大小等于荷载集度q与荷载作用长度之积。
合力Q作用在均布荷载作用线的中点，如图4-5（b）所示。
（2）列平衡方程，求解未知力。刚架受平面任意力系的作用，三个支座反力是未知量，可由平衡方程求出。取坐标轴如图4-5（b）所示。列平衡方程
由式（b）解得
由式（d）解得
将RB的值代入式（c）得
负号说明约束反力RAy的实际方向与图中假设的方向相反。
（二）平衡方程的其他形式
前面通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除此之外，还可以将平衡方程改写成二力矩式和三力矩式的形式。
1.二力矩式
三个平衡方程中有一个为投影方程，两个为力矩方程，即
式中，注意A、B两点的连线不能与x轴垂直，如图4-6所示。
可以证明，式（4-8）也是平面一般力系的平衡方程。因为如果力系对点A的主矩等于零，则这个力系不可能简化为一个力偶，但可能有两种情况：一种是这个力系或者是简化为经过点A的一个力F，或者平衡；另一种是如果力系对另外一点B的主矩也同时为零，则这个力系或简化为一个沿A、B两点连线的合力F（图4-6），或者平衡；如果再满足∑Fx＝0，且x轴不与A、B两点连线垂直，则力系也不能合成为一个合力，若有合力，合力在x轴上就必然有投影。因此力系必然平衡。
2.三力矩式
三个平衡方程都为力矩方程，即
图4-6
式中，矩心A、B、C三点不能共线。
同样可以证明式（4-9）也是平面一般力系的平衡方程。因为如果力系对A、B两点的主矩同时等于零，则力系或者是简化为经过点A、B两点的一个力F（图4-7），或者平衡；如果力系对另外一C点的主矩也同时为零，且C点不在A、B两点的连线上，则力系就不可能合成为一个力，由于一个力不可能同时通过不在一条直线上的三点，因此力系必然平衡。
图4-7
由上述可知，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程组，均可用来解决平面一般力系的平衡问题。每一组方程中都只含有三个独立的方程式，都只能求解三个未知量。任何再列出的平衡方程，都不再是独立的方程，但可用来校核计算结果。应用时可根据问题的具体情况，选用不同形式的平衡方程组，以达到方便计算的目的。
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