水文分析计算中流域汇流实证与误差分析

流域汇流特征一般概化为一维线性时不变集总式系统，即假定它的参数不随时间变化，降雨、产流的空间分布均匀，满足倍比和叠加原则的线性系统。把净雨量过程I（tτ）作为输入，出流过程Q（t）作为输出，汇流过程视为系统响应，从而构成一个流域汇流系统。可以用下列卷积公式表示

式中：U（t）为系统脉冲响应函数的核函数，即汇流曲线，瞬时入流强度为一个单位时所形成的出流过程。

实用时可将其转换成单位时段响应函数。单位时段则依流域特性而定，可取1h、3h、6h、12h、24h。特别当时段趋于零时，则相应的单位线称为瞬时单位线。单位净雨量一般取10mm，也可取1mm。

9.5.1.1　经验单位线

单位线就是在一个特定流域上，单位时段内时空均匀分布的单位净雨量所形成的流域出口站的直接径流（包括地表径流与表层壤中流）过程线。经验单位线，即L.K.谢尔曼单位线，是根据水文资料直接分析而得的单位线。其基本原理亦适用于坡面汇流和河道汇流。

通常净雨量为离散值，经验单位线的出流过程为

式中：Qi为出口断面时段i时的流量，m3／s；q为时段单位线时段流量，m3／s；I为时段平均净雨量，mm；m为净雨时段数；n为时段单位线时段长度。

图9.11　经验单位线三要素

单位时段一般按流域特征、资料情况和要求拟定，应以分析计算的单位线误差最小为度，一般为洪峰滞时的1／3～1／4。

用来控制单位线形状的特征的指标有单位线洪峰流量qm，洪峰滞时Tp和单位线总历时（底长）TD，称为单位线三要素，如图9.11所示。

（1）经验单位线的推求。原则上应尽量选取降雨比较均匀、净雨历时较短、雨强较大的孤峰资料，用割除了地下径流以后的地面径流过程线与相应的单位净雨过程来推求。方法有分析法、图解法、试错法、最小二乘法和塞德尔迭代法等。

1）直接分析法。设出口断面的地面流量过程为Q1，Q2，…，Qk，流域的净雨过程为R1，R2，…，Rm，由式（9.28）构成一个以q1，q2，…，qm为未知数的线性代数方程组，解之即可得单位线。

式中：R为地面流量过程的时段数；n为单位线的时段数，n＝k－m＋1。

【例9.2】　某流域实测流量资料分割地下径流后的地面径流过程以及推算出的地面净雨过程见表9.3，试分析单位线。

本例净雨时段数m＝2，地面流量过程时段数k＝20，计算时段Δt＝12h。由式（9.29）

即可推出单位线纵标，见表9.3。

表9.3　单位线分析计算表

实际上，流域汇流并非严格遵循倍比和叠加假定，实测资料及推算的净雨量也具有一定的误差，所以，分析法求出的单位线纵标有时会呈现锯齿状，甚至出现负值。此时可从后向前逆时序推算或对推算出的单位线作光滑修正，但应保持单位线的总量为10mm。

该流域F＝10048km2，修正前单位线径流深为

2）试错优选法。用分析法推求单位线常因计算过程中误差累积太快，使解算工作难以进行到底，这种情况下比较有效的办法是采用试错优选法。试错优选法是先假定一条单位线，按倍比假定计算各时段净雨的地面径流过程，然后将各时段净雨的地面径流过程按时程叠加，得到计算的总地面径流过程。若能与实测的地面径流过程较好地吻合，则所设单位线即为所求。若吻合欠佳，则另设单位线。重复上述步骤，并加以调整直至假定的单位线与分解出来的单位线相符为止。或者用第二次假定的单位线还原本次洪水，与实测洪水比较，如拟合较好，则作为本次洪水所求的单位线。

假定的单位线，可以参照本流域中短时段净雨量的单位线来拟定。当一个单位时段净雨量特大，其他时段净雨量较小时，也可以用本次洪水当作一个单位时段净雨量所形成的单位线，作为第一次试算的依据。当分解出多次洪水的单位线后，可对准洪峰后求出平均单位线。由于设计洪水的量级较大，因此，应当选用大洪水作为分解单位线的依据。

3）最小二乘法。单位线计算公式可展开为线性方程组，一般单位线时段数m小于洪水过程的时段数k，为一矛盾方程，没有精确解。若将净雨乘以单位线的计算值与实测出流过程差值的平方求和，可转化为含有m个未知数的极小值求解问题，即可用最小二乘法求解。此时得到的单位线计算的洪水过程与实测洪水过程可以吻合较好。此法得出的单位线，有时水量不等于原有的水量，这时可对单位线按比例修正，有时得到的单位线可能有不尽合理之处，可进一步修改调整。

图9.12　单位线的时段转换

（2）单位线的时段转换。应用单位线时，有时因实际降雨历时和单位线的时段长不相符合而引起误差。例如，实际降雨历时短，所用的单位线时段长，则推算的洪峰偏低，反之则偏高。需要用S曲线对单位线的时段进行转换。将两条净雨时段长Δt的单位线的S曲线（即单位线纵标累积曲线）错开时段ΔT，绘在同一张图上，如图9.12所示。两条S曲线间各纵距q即时段为ΔT的净雨量（即净雨量a减b）所造成的流量过程线，但两条S曲线间的径流总量相当于ΔT／Δt倍的单位净雨量（10mm）。因此，将这各纵距qi值分别乘以Δt／ΔT，就得Δt小时单位线q（ΔT，t），其数学式为

式中：q（ΔT，t）为欲求的时段单位线；ΔT为欲求的单位时段；Δt为原单位时段。

（3）单位线法存在的问题及处理方法。

1）净雨强度对单位线的影响及处理方法。在其他条件相同情况下，净雨强度越大，流域汇流速度越快，由此洪水分析出来的单位线的洪峰比较高，峰现时间也提前；反之，由净雨强度小的中小洪水分析单位线，洪峰低，峰现时间也要滞后。针对这一问题，目前的处理方法是：分析出不同净雨强度的单位线，并研究单位线与净雨强度的关系。进行预报或推求设计洪水时，可根据具体的净雨强度选用相应的单位线。

2）净雨地区分布不均匀的影响及处理方法。同一流域，净雨在流域上的平均强度相同，但当暴雨中心靠近下游时，汇流途径短，河网对洪水的调蓄作用减少，从而使单位线的峰偏高，出现时间提前；相反，暴雨中心在上游时，大多数的雨水要经过各级河道的调蓄才流到出口，这样使单位线的峰较低，出现时间推迟。针对这种情况，应当分析出不同暴雨中心位置的单位线，以便洪水预报和设计洪水计算时，根据暴雨中心的位置选用相应的单位线。

当一个流域的净雨强度和暴雨中心位置对单位线都有明显影响时，则要对每一暴雨中心位置分析出不同净雨强度的单位线，以便使用时能同时考虑这两方面的影响。

9.5.1.2　瞬时单位线

瞬时单位线是指流域上分布均匀、历时趋于无穷小、强度趋于无穷大、总量为一个单位的地面净雨在流域出口断面形成的地面径流过程线。

J.E.纳希把流域对净雨的调节作用视作等效于n个串联的线性水库的调节作用。一个单位的瞬时入流通过n个水库演进，即可导出瞬时单位线基本公式。

式中：n为线性水库的个数；Γ（n）为n的伽玛函数；K为与流域汇流时间有关的参数，亦可称为每个水库的滞时。

瞬时单位线主要优点在于它与净雨历时无关，因而可消除掉单位线分析中时段这个变量。此外，瞬时单位线只与流域有关，集中反映了流域的汇流特性，因而有利于流域降雨径流关系的理论研究和地区综合。

（1）瞬时单位线的时段转换。由于净雨量通常用时段表示，因此，在实际应用中需将瞬时单位线转换为时段单位线或时段汇流曲线。

S（t）曲线为瞬时单位线的积分曲线

将以t＝0为起点的S（t）曲线向后平移一个Δt时段，即可得如图9.13所示的S（t－Δt）曲线，两条S（t）曲线的纵坐标差

图9.13　瞬时单位线的S（t）曲线

图9.14　无因次时段单位线

即为时段为Δt的无因次时段单位线，如图9.14所示，它代表Δt内流域上净雨强度为1产生的水量（Δt×1）在出口断面形成的流量过程线。将无因次单位线换算成时段为Δt，净雨为10mm的时段单位线为

式中：F为流域面积，km2。

鉴于时段汇流曲线与时段单位线的区别，因此在实际应用时要注意净雨的单位。在应用卷积时，若响应函数采用的是时段汇流曲线，则净雨强度单位为mm／h。若核函数采用的是时段单位线，则净雨用雨量单位为mm。

（2）参数n、K的推求。纳希利用统计数学中矩的概念，推导出由实测净雨过程I（t）和出口断面地面径流过程Q（t）确定n、K的公式如下。

由上面计算出的n、K值还需代回原来的资料作还原验证，若还原的精度不能令人满意，则需对n、K作适当调整，直至满意为止。可用下式估计要调整的n、K值

式中：n′、K′为调整后的n、K值；Qm、Qm，计分别为实测的和还原的地面径流洪峰值，m3／s；tm、tm，计分别为实测的和还原的洪峰出现时间，h。

（3）计算实例。以某站一次洪水为例，说明推求瞬时单位线的方法与步骤。

求入流量、出流量的矩值。已知净雨量过程I（t）和出流过程Q（t）（应先分割基流），求矩值，见表9.4和表9.5所列。

表9.4　某站一次洪水净雨量原点矩计算表

表9.5　某站一次洪水过程原点矩计算表

由式（9.35）～式（9.40）计算可得

由式（9.37）、式（9.38）计算可得n＝2.52；K＝5.67h。

9.5.1.3　单位线的地区综合

由以上推求的经验单位线与瞬时单位线，根据已知净雨过程可推求本流域的洪水过程，通常用于洪水预报，也可用于间接法由暴雨推求设计洪水。为了应用于无资料的邻近地区，就需要对其进行地区综合。一般是通过建立单位线要素或瞬时单位线参数与流域自然地理因子之间的相关关系，对单位线进行地区综合。

（1）综合单位线。将经验单位线进行综合，即为综合单位线。经验单位线的要素有洪峰流量qm、涨洪历时tP或洪峰滞时Tp、底宽TD，如图9.11所示。

1）影响单位线的因素。

①降雨特征。对较大流域，主要是降雨的时空分布特征。在较小流域，则主要是降雨强度。一般采用某一标准的降雨特征的单位线进行地区综合。在求得标准单位线后，再考虑净雨大小进行非线性校正。

②流域特征。常用的主要特征是流域面积F、河道平均比降J、河流长度L、坡面比降SF和流域形状系数F／L2等。此外还有河型、河网密度等。但是，上述因素并不是互相独立的，所以在选用流域几何特征值时，要避免选用有密切相关关系的因素。一般采用2～3个相互独立的因素，即可满足实用要求。

由于单位线一般具有部分汇流造峰的特点，所以也有采用与部分汇流相应的有关流域特征。如采用造峰有效面积Fe及相应的河道平均比降Je，造峰有效面积中心至流域出口的河道长度LJa及相应的河道平均比降Jea、部分汇流面积最大平均宽度Btc等。

③流域地貌、地质特征。地形、植被、耕地、堰塘、土壤和水文地质等对单位线均有影响。但目前尚难对这些因素的影响作出定量分析，因此，一般按这些特征划分水文分区，求出区域综合单位线。

2）单位线要素地区综合时应注意的问题。综合的区域应为流域下垫面情况基本一致的水文分区。分区的水文测站最好有15～20个，并且都有雨洪较大的资料。由于大小流域的汇流特性不同，在进行单位线地区综合时，可以考虑按流域面积大小分级综合。

3）单位线要素的地区综合方法。单位线在综合前，首先应消除时间因素的影响。

①固定净雨历时tr（单位时段）。点绘单位线要素与流域特征值之间的关系，即固定单位时段综合法。此法的优点是减少了一个变量，可使分析简化。但应用此法时，需按流域面积大小分组绘制不同单位时段的几套成果。

②固定tr／Tp。点绘固定的单位时段tr与洪峰滞时Tp比值的单位线要素与流域特征的关系。此法能保证汇流条件（主要是造峰的部分汇流程度）基本一致，便于大小不同流域的资料进行综合。一般选用tr／Tp值的1／3左右为宜。

③综合单位线洪峰流量的经验公式。通常在单位线洪峰流量qm与洪峰滞时Tp及单位线总历时TD之间存在较好的关系。因此，一般可只建立一个主要要素的经验公式，再建立其他要素和它的关系。

建立经验公式时，引用的各项流域特征要有明确的汇流成因概念。一般首先建立单位线洪峰流量与流域特征的经验公式。常用的经验公式有

式中：qm为流域相应于同一净雨标准的单位线洪峰流量，m3／s；F为流域面积，km2；J为流域坡降，‰；C、α、β为待定系数。

一般可将上述影响因子点绘偏相关图。逐步确定主次要因子，最终确定待定系数。也可采用多因素逐步回归分析法求解。

④综合单位线形状的确定。

当已知单位线洪峰流量qm与洪峰滞时Tp后，再配以不同高度相应的单位线宽度的经验公式，即可控制峰形。

综合单位线的线型，亦可直接采用纳希模型。当已知时段单位线的洪峰流量qm、上涨历时tp和单位净雨深he后，可由下式推求参数P及相应的汇流参数n、K

（2）综合瞬时单位线。综合瞬时单位线就是对纳希模型中的参数n、K进行地区综合。