月径流量随机模拟方法及效果

2023-08-23 理论教育版权反馈

【摘要】：月径流资料的模拟生成。8.2.2.3月径流模型的验证和分析将上述马尔柯夫过程模型、分解计算法和解集模型3种方法的模拟结果作对比以判断其优劣。

上述年径流水文序列属于平稳随机过程，而季、月径流序列统计特征以年为周期随时间变化，属于非平稳随机过程，在随机模型选择时需要反映各自的特点。

随机模拟月径流的模型大体上可分为两大类：月径流马尔柯夫模型［AR（1）］和解集模型。

月径流马尔柯夫模型就是具有周期性系数的自回归模型；而解集模型，其本质乃是由模拟生成的年径流量分解成月径流量。分解的办法通常有两种：一种是利用实测样本中出现的各种分配特性；另一种是利用由实测资料推出的一套系数。

8.2.2.1　月径流马尔柯夫模型

宜昌站月径流的特征表现在偏态分布，而且各月的均值、离势系数均呈现出周期性。此外月际之间的自相关系数亦呈现出周期性。因此，首先要使月径流量正态化，其次排除周期性，最后用具有周期系数的自回归模型来考虑自相关系数的周期性。

（1）月径流量正态化。为了模拟月径流的偏态特性，通常应用的办法是对数变换，使月径流量呈正态分布。对数变换中的下限值可用下式估算

式中：ln为以e为底的对数；x为原始月径流量序列；Y为对数转换后的月径流量序列；a为x的下限值；μx为x的均值；Cvx为x的离势系数；Csx为x的偏态系数。

对变换后的系列，检验表明，它们分布的正态性是可以接受的。

（2）周期性排除。对数变换后，得到周期性的正态序列Yv，τ，这里v表示年，τ表示月（τ＝1，2，3，…，12）。Yv，τ可以写成

式中：μτ为月径流量的均值；στ为月径流量的标准差；Zv，τ为均值为零、方差为1的相依随机序列。

μτ和στ的估算一般用两种方法：①直接利用样本的Yτ和Sτ（均方差）加以估计；②对样本的计算值Yτ和Sτ选配傅立叶级数。

这两种方法使用于宜昌站的结果表明：前者优于后者，因为后者导致序列Zv，τ相依结构的破坏。

由式（8.18）得下式

利用式（8.19）即可排除均值和标准差的周期性。

（3）具有周期性系数的AR（1）模型。式（8.19）中的Zv，τ具有周期性的相依结构，可选用具有周期性系数的AR（1）或AR（2）模型来模拟。计算结果表明：两个模型的模拟效果相仿。考虑到参数数量的最优，最后选用AR（1）模型。

具有周期性系数的AR（1）模型表示如下

式中：φv，τ为周期性的一阶自回归系数；ζv，τ为标准正态随机数；σζ，τ为ζv，τ的周期性的标准差。

φ1，τ和σζ，τ均用矩法估计。

（4）月径流资料的模拟生成。利用生成的标准正态随机数，通过式（8.20）可得Zv，τ。由Zv，τ借助式（8.19）可得Yv，τ，再经过求反对数得月径流系列。这样，模拟生成了100个序列，每个序列的长度均为103年，且服从对数正态分布。对样本序列和模拟生成序列，计算了下列参数以资比较。

1）月径流量参数，包括平均值、离势系数和偏态系数。

2）一年内连续最大30天径流量的参数，包括平均值、离势系数和偏态系数。还计算了一年内最大1个月径流量的参数，一年内最大连续2个月径流量的参数，一直到最大连续6个月径流量的参数。

3）一年内最大连续各月径流量发生时间的参数，包括平均值和离势系数。

8.2.2.2　解集模型

（1）分解计算法（典型解集法）。该法实质在于两次抽样：年径流量（第一次抽样）和分解系数（第二次抽样）。

月径流量的生成基于下式

式中：Qv，τ为v年第τ月的月径流量；Qv为v年的年径流量；ηv，τ为相应于Qv的分解系数。Qv的生成借助于适当的年径流量模型进行，ηv，τ可在由样本资料事先计算出的一套分解系数中挑选（样本的分解系数，直接由实测的月径流量除以相应的年径流量而得）。

为合理选定ηv，τ，这里提出了一种改进的办法。样本序列按递减顺序排列，然后分别对每一年计算出分解系数（共103组每年为一组有12个数值）。第一组分解系数相应于第一位的年径流量（103年中的最大值），第二组分解系数相应于第二位的年径流量，依此类推，总共有103组分解系数可供选择。为了生成宜昌站的月径流量，首先用前面选定的年径流量模型，生成年径流量按递减次序排列。即对于首位值，选用上述第一组分解系数来进行分解，即用式（8.21），这样生成的103个年径流量均分解成相应的月径流量。这种分解方法是基于下述的考虑：径流年内分配的情势和年径流量的大小有一定关系。

用分解计算法共计生成了100个系列（每个系列长103年），并计算出各种参数。

（2）解集模型（相关解集）。解集模型的思路和参数解析，见8.3.2，经中心化处理后的实测序列，单站解集模型的基本形式为

式中：y为12×1均值为零的月径流量矩阵；X为1×1均值为零的年径流量矩阵；A为12×1的系数矩阵；B为12×12的系数矩阵；ε为12×1均值为零独立同分布的随机变量矩阵。

为了考虑月径流量的偏态系数，采用了托多尼（Todini）建议的处理办法（见8.3.2）。并得到宜昌站月径流量的残差偏态系数见表8.4。

表8.4　月径流量偏差系数

为了随机生成具有E（ε）＝0，E（εT）＝I，（I是单位矩阵）和残差偏态系数统计特征的ε（随机变量的矩阵），应用了凯贝（Kibby）建议的方法，在偏态系数较大时，该法较为适宜。

资料生成步骤是，首先利用上述的AR（1）模型模拟生成100个系列的年径流量，然后分别用式（8.22）解集成月径流量，据生成的月径流系列计算出前述各种参数。

8.2.2.3　月径流模型的验证和分析

将上述马尔柯夫过程模型、分解计算法和解集模型3种方法的模拟结果作对比以判断其优劣。单纯从样本系列各种统计特征参数尽可能接近推论总体的参数（模型的参数）来看，以分解计算法最好，解集模型次之。对于分解计算法，所比较的8种参数都能很好地保持；对于解集模型，除月径流量偏态系数少许偏低外，其余各种参数都能较好的保持；对于具有周期性一阶自回归模型，除月径流变差系数偏大和最大连续月径流量的偏态系数偏小外，其余参数基本上都能保持。

必须指出，全面评论模型的优劣，不能仅从参数的接近程度这一点来判断，还应考察模型中的参数数目和模型其他方面的性能。

（1）分解计算法。此法的实质在于将所有实测的年径流分配均选为典型用来缩放。在应用过程中没有引进任何关于月径流概率分布的假设，使生成的系列显示出样本中所出现的各种径流年内分配情势。换言之，生成的系列充分地反映样本系列的统计特性。实际上，分解计算法是目前水文计算中广泛应用的典型年同倍比缩放法的推广。与惯用的典型年法的差异仅在于：径流量是通过随机模型大量生成的，每年实测资料都选来作为典型年。由此不难理解，这一方法不能提供异于样本系列的新径流年内分配情势。这是该法的缺点，但是这个方法可以提供径流年际之间各种组合的新信息。至于模型的参数数目，就宜昌站103年资料而言，仅分解系数的数目就达103×12＝1236，目前在选用各种模型时，强调在保证模拟精度时，尽可能减少估计参数的数目，达到所谓的最优参数数目，据此，分解法需加改进。

（2）解集模型。该模型的实质是借助于年、月水量之间平均关系并考虑随机因素的作用模拟生成月径流。式（8.22）中的系数A反映这种平均关系，而B反映随机因素ε的作用，应用解集模型可以模拟出未来各种各样的径流年内分配情势，充分地揭示和利用了样本可提供的信息。这一模型的显著特点为年、月水量保持平衡。模拟的月径流序列本身，反映出月径流的统计特性，各年的月径流累加而得的年径流序列则反映年径流的统计特性。简言之，模型同时反映各种聚集水平上的统计特征。

尽管解集模型有上述优点，但也存在需要改进的地方。归结起来有下述几点。

1）模型的结构表明：模型能反映年内各月之间的相关关系。但是对年内12月的月径流量，只能反映它与该年1月的月径流量之间的关系。实际上应该反映的是与次年1月径流量的真实关系。

2）由式（8.22）模拟月径流资料时，尽管随机项ε是P-Ⅲ型分布，但模拟出的月径流量却只能是近似皮尔逊Ⅲ型分布，这是由于皮尔逊Ⅲ型分布之和并非皮尔逊Ⅲ型分布。唯当变差系数和偏态系数不太大的情况下，这种近似程度较高，实用上可以看作为皮尔逊Ⅲ型分布。

3）将托多尼（Todini）考虑三阶矩的方法引进基本的解集模型，使之具有反映三阶矩的性能，但是一般样本资料短，三阶矩的估值不可靠，故通常必须按照地区上的附加信息和模型制作者的经验加以调整。这种调整较麻烦并受主观因素的影响。模型中的参数数目较多也是这一模型的缺点之一。

（3）月径流马尔柯夫模型。该模型利用年内各月之间的平均关系并考虑随机因素的作用来模拟生成月径流。正如式（8.20）所示，φ1，τ反映出平均关系，而通过ζv，τ考虑随机因素的作用。模型的参数较分解方法和解集模型的参数大为减少，一般只需要48个（在考虑月径流量的对数转换情况下）。这是该模型的优点之一。

为了反映月径流的偏态特性，曾引用对数转换。据式（8.20），由于Zv，τ－1和ζv，τ为正态分布，Zv，τ亦为正态分布，其反演而得的月径流量严格地服从对数正态分布。凡是原始变量经变换而成正态分布后，建立在正态分布基础上的模型，理论比较坚强。但是对数变换却引起一系列的问题，例如相关结构的破坏、某些参数的不协调等。此外，模型还有一个缺陷，就是由生成的月径流量累加而得的年径流量序列，常常失去了所期望的统计特性。上述缺点，导致模型验证的结果较差。

月径流量随机模拟方法及效果

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