独立性检验与处理的水文分析计算与水资源评价

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【摘要】：表7.1各站和区间洪水统计参数表注r为相关系数。1）X2与Y2的独立性检验。在前面B库单库运行情况的数值积分法计算中，已对X2与Y2的独立性进行了检验，认为X2与Y2可视为独立随机变量。

在频率组合计算中，如果两个组合变量相互不独立，就需要用到条件频率曲线。利用实测资料推求分区洪水的条件频率曲线，对资料的要求很高，一般不易满足，而且大大增加计算的难度。因此在实际应用中，都只对相互独立的组合变量进行频率组合计算，这就需要在计算前对组合变量进行独立性处理，转换成独立随机变量（严格说是不相关的随机变量），再进行频率组合计算。

7.3.3.1　独立性检验

设两个组合变量为X、Y，对X与Y是否相对独立进行检验，可采用相关系数检验、联列表检验、实测资料检验等。

（1）相关系数检验。构造统计量t：

式中：n为样本容量；r为X与Y的相关系数。

当指定某一信度α后，从t分布表中查得临界值tα，若计算的｜t｜＞tα，则认为X与Y是不独立的。

（2）联列表检验。将随机向量（X、Y）的样本空间分为L×K个子区｛（Xi，Yj）｜1≤i≤L，1≤j≤k｝间，计算同时出现在各子区间的频率。构造统计量η：

式中：nij为（X、Y）在区间（Xi，Yj）内的频数；ni为出现｛（Xi，Yj）｜1≤j≤k｝在内的频数；mj为出现｛（Xi，Yj）｜1≤i≤L｝在内的频数。

当n较大时，统计量η服从自由度为（L－1）×（K－1）的χ2分布。指定某一信度α，由χ2分布表查得临界ηα值，若计算值η＞ηα，则认为变量X与Y之间是不独立的。

（3）实测资料检验。实测资料检验的基本思想，是检验在假定独立的条件下推求的分布函数是否与实测资料样本相符。例如，设X、Y和Z均为随机变量，其分布FX（x）、FY（y）和FZ（z）均为已知，且满足Z＝X＋Y。现欲检验X与Y是否相互独立，假定X与Y相互独立，则Z的概率分布为：

如果F′Z（z）与FZ（z）吻合较好，或F′Z（z）与Z的实测样本的经验分布拟合较好，则认为假定X与Y相互独立是成立的，反之则认为是不独立的。

7.3.3.2　独立性处理

如经独立性检验表明，X与Y不能视作相互独立的随机变量，应进行独立性处理。一般采用变量代换，以新变量ξx或ξy代换Y或X，即

由于ξx与X或ξy与Y满足正交条件，即可认为X与ξx或Y与ξy是不相关的，在实际应用中往往视为相互独立。

图7.5　某河上游A、B两库及C市相对位置示意图

【实例】　以某河上游A、B两座梯级水库及下游城市C组成的防洪系统为例，要求：①用数值积分法计算C断面受B单库调洪影响后年最大流量的概率分布；②用离散求和法计算C断面受A、B两库调洪影响的年最大流量频率曲线。

（1）基本情况。A、B两库及城市C相对位置如图7.5所示。该河干流一次洪水过程40～45d，对调洪影响较大的时段洪量为15d洪量。以C断面年最大15d洪量Z为准，考虑汇流时间，对相应的A、B及A—B、B—C区间洪水进行相应选样，分别记为X1、X2、Y1、Y2，由实测28年资料计算的相应统计参数见表7.1。

表7.1　各站和区间洪水统计参数表

注　r为相关系数。

各站及区间洪水均采用P-Ⅲ型分布，其概率密度函数和分布函数分别为

（2）B单库运行时，下游C断面年最大流量频率曲线的推求。

B单库运行时，有：

X2、Y2及B库下泄流量QB的概率分布函数分别用FX2（x2）、FY2（y2）及FQB（qB）表示。

1）X2与Y2的独立性检验。①相关系数检验。计算X2与Y2的相关系数r＝0.16，按式（7.20）计算得t＝0.826，取α＝0.1，由t—分布表中查得tα＝1.315，由于｜t｜＜tα，认为X2与Y2是相互独立的；②实测资料检验。假定X2与Y2相互独立，按独立随机变量对天然洪水进行频率组合计算，推求Z的频率曲线，与根据Z的实测样本资料计算的频率曲线绘于同一张图上进行比较，二者吻合良好，因此认为X2与Y2相互独立。

由于系列较短，联列表检验效果不好，本例未予采用。

2）采用数值积分法推求。

①B水库调洪函数的确定。当B水库单独运行时，其调洪原则为：a.当B库以上来水洪峰小于4540m3／s时，则控制泄量等于来水量；b.当B库以上来水洪峰大于4540m3／s，而小于6860m3／s（相应概率为1%）时，其控制泄流量为4540m3／s；c.当B库以上来水洪峰大于6860m3／s时，B水库不再考虑C市防洪控泄，但下泄流量仍不能超过此时的天然来水的洪峰流量。

根据B水库的库容曲线、水库泄流能力曲线及峰量关系、上述调洪原则和防洪调度判别方式，假定X2的一系列值，采用2025年典型洪水过程线放大B库各种X2值的洪水过程线，经调洪计算推求最大下泄流量qB，点绘X2—qB相关图（见图7.6），根据相关点并结合B库调洪原则，确定相关线，如图中实线所示。则B库调洪函数可写为：

②C断面年最大流量概率分布的推求。由于X2与Y2可视为独立随机变量，由式（7.29）可得：

图7.6　B库单库运行调洪函数图

图7.7　B库单库运行时下泄流量的概率分布曲线(https://www.chuimin.cn)

由于X2与Y2可视为相互独立，将式（7.29）和式（7.30）代入式（7.5）即可得出FZ（Z）的解析表达式（见图7.7）。将有关参数代入，通过数值积分，就得到C断面年最大流量的概率分布，见图7.8。

图7.8　B库单库运行时C断面年最大流量频率曲线

（3）用离散求和法推求C断面受A、B两库联合调洪影响后的年最大流量频率曲线。由图7.5可知，Z＝X2＋Y2＝X1＋Y1＋Y2。计算中，应先将X1与Y1进行频率计算，再与Y2进行频率组合计算。

1）独立性检验和独立性处理。在前面B库单库运行情况的数值积分法计算中，已对X2与Y2的独立性进行了检验，认为X2与Y2可视为独立随机变量。这里再对X1与Y1进行独立性检验。

对ξ与X1作相关系数检验、联列表检验及实测资料检验，结果表明，ξ与X1可视为相互独立的随机变量。又由于X2与Y2相互独立，则可认为B水库下泄流量QB也与Y2相互独立。

图7.9　A、B两库联合调洪时C断面年最大流量频率曲线

2）用离散求和法计算C断面年最大流量频率曲线。由于对Y1作变量代换，则

将组合变量X1、ξ及Y2离散成21种状态，设变量X1第i种状态的取值为X1，i，ξ第j种状态的取值为ξj，Y2第K种状态的取值为Y2，K，相应的概率区间为ΔPX1，i、ΔPξ，j、ΔPY2，K，则：

选用2025年洪水过程线为典型，按X1，i、X2，ij、Y2，K为控制，放大A、B及B—C区间的洪水过程线，分别得到放大后的洪水过程线QX1，i（T）、QX2，ij（T）及QY2，K（T），m3／s；T＝1，2，…，45d，并得到A—B区间洪水流量计算公式，即：

将QX1，i（T）、QY2，ij（T）及QX2，ij（T）输入A、B两库联合调洪程序，可计算出B水库下泄流量过程qX2，ij（T），则C断面洪水流量过程为：

对X1、ξ、Y2的全部取值状态组合计算，可得213＝9261个QZ，ijK及ΔPZ，ijK，由此可算出QZ的频率曲线，见图7.9。

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