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高速铁路车地间多跳协作通信技术中的应用

2023-08-23 理论教育版权反馈

【摘要】：接下来，我们将关注问题的多预编码矩阵联合优化问题，其中等价目标函数通过以下过程重新制定，以适应基本ADMM解决方案框架。近似解可计算为为了确保优化结果满足功率约束，需要通过求解子优化问题来额外计算松弛的数字预编码矩阵，其拉格朗日函数由下式给出：其中，ε≥0为拉格朗日乘子。

为了避免公式表达过于冗余，将目的地端接收信号yˆ简写为

由于常数模约束（6.11c）和功率约束（6.11b），求解变换后的联合优化目标（6.15）仍然具有挑战性。因此，将优化变量在数学意义上进行解耦，并从原问题（11）中推导出一个特殊子问题进行优化。另外，由于耦合功率约束，为优化变量GBB构造了一个附加优化过程，以确保最终结果满足（6.11b），该优化问题表述如下：

其中， pagenumber_ebook=122,pagenumber_book=115 和表示在当前迭代中得到的值，其详细的求解过程将在接下来进行描述。值得注意的是，由于该问题是独立的，并且只作为原问题（6.11）的补充优化，因此它对原问题的求解过程没有影响。接下来，我们将关注问题（6.11）的多预编码矩阵联合优化问题，其中等价目标函数通过以下过程重新制定，以适应基本ADMM解决方案框架。不幸的是，虽然目标函数（6.15）通过简单的运算被简化为一个代数和方程，但由于期望多项式具有较高的复杂性，仍然难以处理。因此，为了便于数学处理，定义辅助变量，则MSE优化目标函数能够被重写为

其中，Λ表示拉格朗日乘子矩阵；α是标量惩罚参数。

按照ADMM算法计算过程，迭代步骤如下所示：

其中，k为迭代索引。

可以观察到， pagenumber_ebook=123,pagenumber_book=116 上仅施加功率约束，因此数字预编码矩阵的优化处理在和之后进行以确保最终解满足功率约束（6.11）。尽管松弛后的非凸迭代问题不能够推导出严格闭合解，但使用投影梯度算法，可以通过具有所需约束集的约束优化问题来获得高度近似解。因此，令各个变量的梯度函数等于零，其中

GT的计算方法和GR相同，它可以计算为

其中，分别是矩阵GT和GR的第m行第n列的元素；是集合Q的投影。

为了量化在迭代步骤中所更新的模拟预编码矩阵，用有限精度量化集合对GT和GR两个单元中所有元素进行了量化，以保证元素的模等于1。并在迭代过程中添加额外的量化步骤来进行量化处理，该量化步骤被定义为

其中，表示τm，n经过量化后的值，该量化步骤将输入量化到集合Φ中和量化间隔值之间的最小距离乘以量化步长的最近点。

其次，利用增广拉格朗日函数 pagenumber_ebook=124,pagenumber_book=117 计算数字预编码矩阵GBB，并采用与模拟预编码矩阵相同的方法求解。近似解可计算为

为了确保优化结果满足功率约束（6.11b），需要通过求解子优化问题（6.16）来额外计算松弛的数字预编码矩阵 pagenumber_ebook=124,pagenumber_book=117 ，其拉格朗日函数由下式给出：

其中，ε≥0为拉格朗日乘子。可以看出当ε=0时，通过计算公式（6.26）的零点能够满足功率约束（6.11b）。但当ε≠0时， pagenumber_ebook=124,pagenumber_book=117 需要满足下式：

其中ε可以通过使用二分法得出。则数字预编码矩阵的近似解为

接下来令增广拉格朗日方程对辅助变量 pagenumber_ebook=124,pagenumber_book=117 的导数为0，则的解析解为

上式为无约束的离散Sylvester方程，可利用如牛顿法[78]的迭代算法进行求解。

接下来将在所有优化变量迭代后更新拉格朗日乘子矩阵Λ，以确保最终结果是迭代收敛的，更新公式如下：

本设计的核心是迭代求解（6.21）～（6.30），首先所有向量初始化为随机值，并在每次迭代中计算各个优化变量的拉格朗日函数的梯度，并在迭代完成后计算投影量化约束。因此，基于该思路，具体的算法步骤可以总结如下：

步骤1：初始化为随机值，令Λ=0，k=0，迭代开始；

步骤2：根据公式（6.22）和公式（6.23）分别计算

步骤3：根据公式（6.28）计算 pagenumber_ebook=125,pagenumber_book=118 ；

步骤4：根据李雅普诺夫方程计算等式（6.29）从而求解 pagenumber_ebook=125,pagenumber_book=118 ；

步骤5：根据公式（6.30）计算拉格朗日乘子Λk；

步骤6：判断是否满足终止条件或迭代索引k超出最大允许迭代次数Kmax；

步骤7：根据定义的量化精度量化模拟预编码矩阵

步骤8：判断功率约束是否成立，如不成立对数字预编码矩阵执行标准化操作。

经过步骤1至步骤8后，利用交替迭代最小化的方法求出最终的最佳数字预编码器与最佳离散化的模拟预编码器。另外，为了保证辅助变量G的收敛性和原始约束问题的可行性，我们定义迭代过程的终止准则为

其中，∈g和∈r是确定所提出算法准确性的相应公差，通过较小的公差可以得到更精确的最优解，但实际计算过程的复杂度较高。另外，Kmax是为避免因非凸性所导致的循环误差而设置的最大迭代次数。