单圆盘转子的振动及其阻尼的影响

2023-08-20 理论教育版权反馈

【摘要】：此转子在受到扰动后，就要以线为平衡位置发生自由振动。就是说转子在不平衡离心力这一激振力的作用下，发生同频率的振动，振幅与激振力大小、转子的质量、刚度及转速等有关。上述各种阻尼中，对转子振动影响最大，因而也是对转子稳定运转影响最大的是轴承油膜阻尼。在有阻尼的情况下，单圆盘转子的不平衡振动，可以抽象为见图7-3的单圆盘转子振动力学模型。

（1）无阻尼自由振动图7-1所示为对称单圆盘转子。假设圆盘质量为m，位于两支承中间，并且轴很细，其质量相对圆盘来说甚小，可以略去不计。这样整个转子的质量m集中在圆盘中心s点上，成为一个最简单的对称单圆盘转子。以跨距中点O为原点，取直角坐标系xOz。

设轴中点处的刚性系数为K（使轴产生单位长度的位移所需的力）。此转子在受到扰动后，就要以线为平衡位置发生自由振动。由惯性力与弹性力相平衡，得运动微分方程式为

图7-1 对称单圆盘转子

a）原始状态 b）受扰动后产生的自由振动

令

则有

此方程的解为

x=Acos（ω_kt+φ）（7-1）

式中A为振幅，由初始扰动而定；ω_k为自由振动圆频率（1/s）；t为振动时间；φ为初相位，由初始扰动而定。

这是一种周期性的简谐振动，其振动周期T为

振动频率f为

振动相位主要在两个或多个同频率的变化量进行时间先后的比较时有意义。式（7-1）表示了圆盘在振动中位移随时间的变化规律，如将位移对时间t求一阶、二阶导数，就分别得到振动的速度和加速度：

可见，简谐振动时的速度与加速度也是同频率的简谐振动，但其相位则分别比位移超前及π。

从上面所得的自由振动规律中可以看到，振幅和初相位可以随着初始条件的变化而变化，但自由振动的频率与初始条件无关。不管系统受到怎样的初始扰动，不管振动的振幅大小，自由振动的频率不变，只与系统本身的质量和刚度有关，或者说只取决于系统本身的结构参数，是系统本身的固有振动特性，因此称为固有频率。对转子而言即为临界转速。

（2）无阻尼受迫振动转子在周期性变化的外力（干扰力）的作用下，所发生的振动称为受迫振动。形成干扰力的原因有很多，这里只讨论一种特定的情况，即转子在不平衡离心力作用下的强迫振动。

设前面讨论的转子，其重心G偏离转动轴线，与几何中心s点不重合，偏心距为e，见图7-2。当转子以角速度ω转动时，在转子上就产生了不平衡离心力meω²，这就是作用于转子上的干扰力。此力迫使轴产生弯曲，使s点或者说使整个转子围绕其平衡位置运动，这种运动称为涡动，也称弓状回转。这种运动与一根不转动的轴做横向弯曲振动是两种不同的物理现象。横向弯曲振动在轴内产生交变应力；弓状回转时轴内不产生交变应力。但是，使转子产生振动，以及对轴承产生交变作用力，从而造成机组的振动，两者都是一样的，因此对这两种运动形态，工程上常常不加区别。

图7-2 单圆盘转子

以o点为原点，在圆盘平面上建立直角坐标系x-y。离心力随转子以角速度ω旋转，设在瞬时t，它在坐标轴x、y方向的分量分别为

F_x=meω²cosωt

F_y=meω²sinωt

显然，F_x、F_y必迫使转子在x、y方向做周期性运动。

在振动过程中，惯性力、弹性力和不平衡离心力三者相平衡。在x方向为

这就是s点在x方向上的运动微分方程式，是一个二阶线性非齐次微分方程。它的解可以写成如下形式：

x=C₁cosωt+C₂sinωt+Acosωt （7-3）其中，前两项是对应的齐次方程的解，即方程通解，相当于无外力作用时自由振动的解（即由初始扰动造成的）；最后一项是方程的特解，由不平衡离心力引起的。由于实际转子总有阻尼存在，因此前两项会很快消失，最后只剩下最后一项特解部分。下面着重讨论特解部分，探讨由不平衡离心力引起的转子涡动规律。

将x=Acosωt形式的特解代入式（7-2），得

因而

可见在F_x作用下，s点将在x方向上作简谐振动，它的频率与F_x的频率是相同的。就是说转子在不平衡离心力这一激振力的作用下，发生同频率的振动，振幅与激振力大小、转子的质量、刚度及转速等有关。

同理，在F_y作用下，在y方向的运动微分方程为

其特解为

如果转子及轴承在各个方面上的刚度是相同的，因而K_x=K_y=K，那么s点在x、y两个方向的运动规律可表示为

显然s点的涡动轨迹为一个圆，圆心在坐标原点o，半径为

对于实际转子，由于轴承刚度的各向异性，即K_x≠K_y，因此涡动轨迹为一椭圆，正像在用示波器观察转子涡动轴心轨迹时所看到的那样。

可见，实际上转子的运动状态是由两种运动合成：一种是转子绕其本身轴线的运动，设角速度为ω，称为自转；另一种是整个转子轴线绕其平衡位置的转动，称为涡动，或称为公转，设其涡动角速度为Ω。当ω=Ω，且方向一致，称为同步正运动，是工程上最常见的一种；如果ω=Ω，但方向相反，称为同步反运动，在风机的实际运行中也有发生。当ω≠Ω，且方向一致，称为异步正运动；反向时，称为异步反运动。

（3）阻尼对不平衡振动的影响

1）阻尼。通常在转子运动时，存在着各种各样阻尼运动的阻力，称为阻尼。阻尼能对转子振动起衰减和抑制作用。常见的阻尼有以下几种：①转子运动时与周围介质之间的摩擦阻尼。这种阻尼力的大小，在比较微小的振动时，与振动速度成正比，即阻尼力可表示为，通常C为常数，这类阻尼称为线性阻尼。②滑动轴承中的油膜阻尼。③材料的内阻尼。④转子各零部件连接处、配合处可能形成的内摩擦阻尼。