高中数学核心素养：思维品质与数据分析

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P，b=P（X=0），c=P（X=1）.假设α=0.5，β=0.8.①证明：{pi+1-pi}（i=0，1，2，…

“数学是一门理性思维的科学——怀特·威廉”.可以说，数学的核心是思维.人们在数学学习过程中，数学思维在不断地发生与发展.由于学习者个体的差异，表现出数学思维水平（包括数学思维的质与量）的差异性.这种思维水平的差异性是以数学思维品质为其标志的.

数学思维品质其主要的表现有敏捷性、灵活性、深刻性、创造性、批判性5个方面.思维品质的这5个方面是相互联系、相互依存的，它们是作为数学思维的统一体的几个方面.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值的信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质.

【案例6-4】利用有效数据进行定量分析

问题：为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假设α=0.5，β=0.8.①证明：{pi+1-pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.