为方便起见，取a=10，则问题转化为：是否存在m、n＞0，使lg（m+n）=lgm·lgn成立？......
2023-08-17
提升高中数学核心素养：图形计算器辅助数学建模
【摘要】：图5-17分析第一步面对这一景区建造人行道的实际问题，首先需要学生在引导下抽象成数学问题：已知一个正五边形A1A2A3A4A5，边长为10cm，点P、Q分别为边A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A1上任意两个动点，则P、Q两动点间距离的最大值为多少？
（一）图形计算器的数学课堂呈现内容
在图形计算器与数学教材的整合中，许多数学知识内容可充分地体现信息技术的辅助作用，有助于学生的数学建模素养的提升.
1.研究函数图像
研究函数图像的对称、平移变换，通过函数作图使学生发现问题总结规律，使学生在理解的基础上，运用公式解决问题，帮助学生摆脱机械的套用公式.同时通过对具体的函数从数值、图像上的研究，帮助抽象一般的函数性质，使学生理解这些性质的意义，把握一类函数的特点及变化规律，加深对各类基本初等函数的认识，在数学建模的活动中对抽象函数的分析与使用更加得心应手.
2.借助函数图像理解方程、不等式、函数间的关系等
借助于函数图像使学生理解方程、不等式、函数间的关系，借助图形计算器用二分法或迭代的方法求相应方程的近似解，掌握数学建模活动中的一些必要的数据处理手段.
3.帮助周期函数
帮助学生理解周期函数，掌握三角函数图形的变化规律.帮助理解极限、导数的概念及其意义，使学生能很好地通过图形运动的直观来理解这些抽象的概念.差分方程，递推、递归的思想，体会“用有理数逼近无理数”.学会建立回归方程，进行简单预测，从而掌握建立相关的数学模型的能力，并且在数学建模的活动中也能够类比着认识和分析一些抽象的概念.
4.体会统计思想、深入认识向量等
模拟估计简单随机事件发生的概率，用图形计算器来处理数据，更好地体会统计思想.用几何软件来帮助研究向量问题，让学生通过几何作图，来发现问题然后用向量来计算证明，让学生在图形与向量间建立联系，使学生更深入地认识向量.也可以运用几何软件动态地研究圆锥曲线及轨迹方程，使学生可以有更多的数学建模活动与实际操作.
（二）图形计算器的数学课堂教学效果
1.改变呈现方式，创设数学建模活动的环境
让学生能借助于图形计算器进行活动，并通过活动让学生发现规律得出结论，学习过程成为在课程引导下的“再创造”过程，学生体验了数学发现和创造的历程，有利于学生的知识迁移，发展学生的创新意识与创造能力.
在教材内容的呈现上加强归纳发现，使教材从以演绎为主，变成演绎与归纳并重.积极创设学生数学建模活动探究的环境，使学习过程富有挑战性，让所有学生都能主动参与探究发现的过程，在亲历建模活动的过程中深化对实际问题的认识，提升学生的数学建模素养.
2.适应信息技术的发展，变革数学教学内容
类似人口增长模型这样的数学建模内容，可借助于图形计算器的直观和数值的计算，通过大量的数据及图形理解实际问题从而掌握方法.学生接受更多的是数学的思考问题的方法，能更好地体现其实际问题的价值和数学建模的素养.
3.加强多元化的表述，把握数学概念
图形计算器的运用可促进学生的数学建模思维，学生可从数据表格出发直接发现规律，在学习上建立起“非人为的直接的联系”，使学生的建模学习真正成为“意义学习”.极大程度地将不同侧面的信息整合起来，加深对实际问题的本质属性的认识，突破数学建模学习中的难点，深入理解数学概念.
充分地照顾到学生在数学建模学习上的差异性，较大程度地满足不同学习层次的学生不同的数学需求，真实而富有弹性的数学建模问题利于广大学生正确地认识数学的价值和学习数学的意义，易于激发学生的学习兴趣.
几何绘图软件不仅能完成常规的作图，还能进行动态演示、变换，进行图形探索；数据处理系统可以探索数据规律，进行回归分析，并具有程序编辑功能.基于图形计算器的数据采集器如CBL、CBR等从现实生活中采集数据，为学生建立数学模型、抽象数学规律提供了方便.同学间的计算器可以方便地互相传输数据，所有这些都有利于学生的自主探究学习数学建模和合作学习.
借助于图形计算器，教学内容可具有较强的交互性与实践性.学生通过更多的实际操作，感知和体会知识的发生过程及数学问题的本质，方便学生对实际问题规律的探究和建模结果的验证.这样的学习有助于学生形成一种良好的学习习惯和学习观念，认识到数学的学习需要自己主动地建构.生活中充满了数学，每一个社会的人都有各自对于数学的需求，通过自身的努力，每个人都能找到适合自己发展的数学.
【案例5-5】探索正多边形边上两个动点之间距离的最大值
问题：景区四周边界设计了一个正五边形的人行道，如图5-17所示以供游客观光行走.为充分迎接一年中各个节假日的旅游人流高峰，景区决定再建造一条贯穿风景区的笔直人行道用于分散客流.问如何在边界上建造人行道，才能使人行道分散客流量最大？
图5-17
分析
第一步
面对这一景区建造人行道的实际问题，首先需要学生在引导下抽象成数学问题：已知一个正五边形A1A2A3A4A5，边长为10cm，点P、Q分别为边A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A1上任意两个动点（包含端点A1、A2、A3、A4、A5），则P、Q两动点间距离的最大值为多少？试设计构造距离方案以确定P、Q两点间距离的最大值.部分学生会想到建立直角坐标系来解决问题.而建立函数模型之前，首先要从该实际情境中寻找两个变量，并且抽象出函数模型所需的函数性质.在此过程中，学生将体会到用数学语言来表述问题是将实际问题转化为数学问题的关键.同时，引导学生充分运用已经学过的函数的图像与性质，利用图形计算器等工具，建立合适的函数模型，如图5-18所示.
图5-18 利用图形计算器建立函数模型
第二步
进行小组交流，并通过小组合作，求解正五边形中PQ的最大值.学生对自己建立的函数模型进行检验与完善，从而解决实际问题.在小组交流的过程中，鼓励学生能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程与结果.能跟根据问题的实际意义检验模型的结果，针对模型中存在的问题，综合运用所学知识，进一步调整参数，完善模型.学生在这一实际问题解决的过程中，回顾了函数这一单元的基础知识，巩固了数学建模的基本过程，并通过表达交流自己的观点，感受分享学习成果的乐趣，同时也提升数学建模、直观想象、逻辑推理等核心素养.
流程 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在直线为x轴，建立如图5-19所示的平面直角坐标系.
图5-19
i 当P、Q中有一点位于A1时，知另一点位于A3或者A4时有最大值为|A1A3|；当有一点位于O点时，|PQ|max=|OA1|＜|A1A3|.
ii 当P、Q均不在y轴上时，知P，Q必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取P点关于y轴的对称点P'，有|PQ|＜|P'Q|）.
图5-20
不妨设P位于线段OA4上（由正五边形的中心对称性，知道这样的假设是合理的）如图5-20所示，则使|PQ|max的Q点必位于线段A1A2上.
且当Q从A1向A2移动时，|PQ|先减小后增大，于是|PQ|max=|PA1|或者|PA2|；对于线段A1A2上任意一点Q，都有|QA4|≥|PQ|.于是|PQ|max=|A1A4|=|A2A4|.
综合i和ii可知，|PQ|max=|A1A4|.
下面研究正五边形对角线的长，不妨设其为x.
如图5-21所示，作∠A1A2A4的角平分线A2 H交A1A4于H，易知∠A1A2 H=∠HA2A4=∠A4A2A3=
，于是四边形HA4A3A2为平行四边形，所以|HA4|=1，由角平分线定理知
，解得
图5-21
第三步
探究已经建立的两个正多边形的函数模型是否还能根据不同的前提条件进行调整？（变成正六边形、正七边形、甚至是正2n（n≥3，n∈N*）边形和正2n+1（n≥3，n∈N*边形）如何根据需要调整模型？学生在这一探究问题解决的过程中，回顾了函数与三角比单元的基础知识，巩固了数学建模的基本过程.
问题拓展：正偶数2k（k∈N*）边形边上两个动点之间的距离的最大值是多少？正奇数2k+1（k∈N*）边形边上两个动点之间的距离的最大值是多少？
图5-22
问题探索过程如图5-22所示.参考正五边形|PQ|≤max（PA2k，PA2k-1），调整|PQ|≤max（PA2k，PA2k-1，…），在△A1Ai Ai+1中，外接圆半径
.
（任意两个小组学员发言，制作演示动点运动过程，分析与小结，给出小组结论）
第四步
评价任务：①能对同伴的观点进行判断、分析、质疑；②能主动提出问题和想法；③鼓励学生积极参与对各种模型的评价活动，感悟数学与现实之间的联系.
深入思考 如图5-23所示，A-B-C为海岸线，AB为线段
为四分之一圆弧，BD=39.2km，∠BDC=22°，∠CBD=68°，∠BDA=58°.（1）求
的长度（2）若AB=40km，求D到海岸线A-B-C的最短距离.
图5-23
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