高中数学核心素养：数学建模思想在课程中的渗透策略

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：【案例5-4】函数模型结构特征运用在高中阶段函数部分的学习中，学生已经熟知的函数模型有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，其实除了这些基本模型外，在学生的学习过程中，还有很多函数具有较好的代表性.通过分析这些函数的结构特征，可以构建相应的结构型数学模型来解决具有共同特征的某一类问题.对比这两个题目在结构特征上的共性，可以发现其题目设问结构基本一致；题目中涉及的

【案例5-4】函数模型结构特征运用

在高中阶段函数部分的学习中，学生已经熟知的函数模型有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，其实除了这些基本模型外，在学生的学习过程中，还有很多函数具有较好的代表性.通过分析这些函数的结构特征，可以构建相应的结构型数学模型来解决具有共同特征的某一类问题.

对比这两个题目在结构特征上的共性，可以发现其题目设问结构基本一致；题目中涉及的两个函数也具有相类似的结构，两个待求表达式均满足.

这样我们就得到启发，先研究清楚的性质，如函数的定义域，奇偶性，单调性是怎样的，在研究过程中发现需对函数f（x）中的字母a的范围加以说明，修正模型，最后将所得模型加以应用.

学生可以很直观地发现题目③和④的共同特征是函数f（x）都可以表示为一个奇函数g（x）和一个常数的和的形式，从而总结出一般性的结论.

总结本例中构建函数模型的过程是按如下思路进行的：构建情境→发现问题→提出问题→分析问题→构建模型→求解结论→验证结果并改进模型→解决问题.具体操作如下.

（1）构建熟悉的情境.从学生认识的函数习题入手，构建学生熟悉的问题情境，从而更加容易发现其结构特征.

（2）从数学的视角发现问题.发现两个函数具有相类似的结构特征，发现问题并提出质疑，确定后续研究问题的方向.

（3）提出问题.对函数及函数）的性质进行探究.

（4）分析问题.以函数为例，研究其相关性质：定义域、奇偶性、单调性.

（5）构建模型.采用由特殊到一般、由具体到抽象的方法，构建函数的一般形式f（x）

（6）求解结论.对构建出的函数模型进行分析，研究其性质，如定义域、奇偶性、单调性等.

（7）验证结果并改进模型.在构建模型及求解结论环节中，学生对于构建的模型中a的范围没有加以讨论，教师在此也没有强行干涉，而是在利用模型解决问题的过程中发现疑点，并改进模型，从而对模型中实数a的范围加以讨论修正.

（8）解决问题.通过题组训练，再次归纳总结规律，在获得模型的基础上加以推广应用，得出有价值的结论：若函数f（x）=g（x）+a其中函数g（x）为奇函数，a为常数，那么：① f（-x）+f（x）=2a；② 若x∈[-t，t]（t＞0），那么f（x）max+f（x）min=2a.

在案例5-4的建模过程中，学生在熟悉的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出问题，构建结构型数学模型.高中阶段的数学问题更加注重知识的综合考查，对学生的数学思维的灵活性要求比较高，考查的数学知识、解题方法以及数学思想基本不变，设置的题目形式相对稳定，因此在专题课教学中，应注重提炼和总结解题基本模型，培养学生的转换能力，让学生有意识地运用数学模型解决问题.

高中数学核心素养：数学建模思想在课程中的渗透策略

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