高中数学核心素养：理解数学建模

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：“数学建模”中“数学”是“建模”的限制词，因此需要先考察“建模”，“建模”中，动词“建”指建立、建构或者构造；名词“模”指模型，因此建模就是建立模型或者建构模型的意思.（一）模型《辞海》（2009）对“模型”一词有3项释义.（1）与“原型”相对研究对象的替代物原型，即客观存在的对象客体；模型是具有原型相似特征的替代物，是系统或过程的简化、抽象或类比表示.（2）根据实物、设计图或设想，按比例、形态或

“数学建模”中“数学”是“建模”的限制词，因此需要先考察“建模”，“建模”中，动词“建”指建立、建构或者构造；名词“模”指模型，因此建模就是建立模型或者建构模型的意思.

（一）模型

《辞海》（2009）对“模型”一词有3项释义.

（1）与“原型”相对研究对象的替代物原型，即客观存在的对象客体；模型是具有原型相似特征的替代物，是系统或过程的简化、抽象或类比表示.

（2）根据实物、设计图或设想，按比例、形态或其他特征制成的同实物相似的物体供展览、观赏、绘画、摄影、试验或观测等用，常用木材、石膏、混凝土、塑料、金属等材料制成.

（3）如果一个数学结构使得形式理论（形式系统中的一组公理或公式）中的每个公式在这个结构内部都解释为真，那么这个数学结构就成为这个理论的一个模型.

其中第（2）项释义指的是客观存在的实物构成的模型，与数学模型差异较大；第（3）项虽然可以说是数学模型，但属于数学的一个分支学科一数理逻辑或者数学基础的专业内容.所以，我们所说的数学建模所指的模型应该是第（1）项释义意义下的模型.因而可以定义：模型是对要研究的对象客体，如系统和过程经过同化、抽象或类比表示得到的具有与我们要研究的原型的特征相似的特征的替代物.

（二）数学模型

按《辞海》第（1）项释义的后文，模型“根据代表原型的不同方式，可分为实体模型和理想模型；根据模型与原型的关系，可分为物理模型和数学模型”.

实体模型指的是运用拥有体积及质量的物理形态的实际存在的物体做成的模型，第②项释义定义的就是一类实体模型，叫作外形相似模型；材质和功能与原型一样只是大小不同的模型，如用于风洞试验的飞机模型，叫作实质相似模型；还有不同质材但功能相似的模拟模型.理想模型是一种理论模型，是由于理论的需要或者理论的推演而成的模型，如原子结构研究的“太阳系模型”，经济学的“理性经济人模型”，生物学的“双螺旋模型”，物理学的“刚体模型”等，数学模型也是一种理想模型.

物理模型指的是运用具有客观存在的物质建构的模型，除了实体模型外，所有涉及具体物质的模型都是物理模型，前面举出的各学科理论模型包括用电流电场甚至电子流电磁场建构的仿真模型都涉及物质客体，所以都是物理模型.只有运用不涉及物质客体的空间形式和数量关系建构的模型才不是物理模型，那就是数学模型.

（三）数学建模

【案例5-2】尽快走出雪地到草地

世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫斯托加茨的《X的奇幻之旅》第17章中讲述了一个关于如何尽快走出雪地到草地的故事，涉及到建模的数学思想，指出了用微分求导求函数最值的思想方法，同时也谈到了最优路径的解答服从光的折射定律.

基本几何模型

基本几何模型为利用轴对称求最短距离问题.

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小.

原理：如图5-2所示，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小（证明略）.

pagenumber_ebook=129,pagenumber_book=120

图5-2

利用此模型可解决如下3个问题.

问题1：如图5-3所示，沿河边AB建一水站P供甲、乙两个学校共同使用，已知学校乙离河边1千米，学校甲离河边2千米，而甲乙两校相距千米，如果两校决定用同一种造价的水管送水.问水站建在什么地方，购买水管的费用最低？

pagenumber_ebook=129,pagenumber_book=120

图5-3

pagenumber_ebook=129,pagenumber_book=120

pagenumber_ebook=130,pagenumber_book=121

图5-4

故几何意义为：在平面直角坐标系下，函数值为x轴上的点（x，0）与A（1，1，），B（2，-2）的距离之和，如图5-4所示，从而可知y≥|AB|=，即三点共线时，函数最小值为

此式子的几何意义：表示x轴上点P到两点A（a，b）、B（c，d）的距离之和.

模型的深化

问题：如何在直线l上确定一点P，使mPA+PB（m＞0）的值最小.

要回答这个问题，首先从一个富有实际意义的问题始研究，如图5-5所示，设铁路AB=50单位距离，B、C距离为10单位距离，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2单位费用，公路费用为4单位费用，问在AB上何处修筑公路至C，使得运费由A到C最省？

pagenumber_ebook=130,pagenumber_book=121

图5-5

pagenumber_ebook=130,pagenumber_book=121

1.判别式Δ法

pagenumber_ebook=130,pagenumber_book=121

2.三角法

pagenumber_ebook=130,pagenumber_book=121

解法1 （换元法）：

pagenumber_ebook=130,pagenumber_book=121

pagenumber_ebook=131,pagenumber_book=122

解法2 （三角函数辅助角法）：

pagenumber_ebook=131,pagenumber_book=122

解法3 （几何意义斜率求解法）：

pagenumber_ebook=131,pagenumber_book=122

图5-6(https://www.chuimin.cn)

3.柯西不等式法

两个二维柯西不等式如下.

pagenumber_ebook=131,pagenumber_book=122

图5-7

4.平面几何法

联系平面几何中利用三点共线求两条线段距离和最小值的方法，关键是将系数化为相等关系.观察中的系数1∶2，将系数转化为同系数.故可做如下变换：以AM为斜边构造直角三角形ADM，使∠A=30°，则可得，当仅当D、C、M三点共线时取最小值（见图5-7）.再根据∠CMB=60°，易得

5.基本不等式法

pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=123

6.解析几何数形结合法

pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=123

图5-8

7.导数法

pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=123

8.费尔马光线折射定理

pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=123

图5-9

2025年费马首先指出，光在不同媒质中传播时，所走路程取极值，即遵从费马原理.即是说，光从空间的一点到另一点，是沿着光程为极值（最小、最大或常量）的路程传播的.

用数学解释如下：如图5-9所示，已知A和B两点，隔着A、B的直线l以及正数u和v，使得最小的条件是 pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=123 ，其中u、v分别是光在第一种和第二种介质的速度，α、β分别是入射角和折射角.

根据这个原理，这个问题解释如下，如图5-10所示，

pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=123

图5-10

pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=123

模型的推广

1.数学式子代数化

pagenumber_ebook=133,pagenumber_book=124

图5-11

这里以a＜b为例，作如下变换：以AM为斜边构造直角三角形ADM，使角，则连接CD，交AB于M'，当且仅当D、C、M'三点共线时取最小值.

2.变直线为曲线

利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换.如点P在抛物线y2=4x上，求点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值.

解过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PQ+PF=PQ+PR，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQ+PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离，因准线方程为x=-1，故最小值为3.

可以改编如下数学建模题：南北方向的公路L，A地在公路正东2千米，B地在A地北偏东60°方向千米处，河流沿河PQ（曲线）上任一点到公路L和到A地距离相等.现要在PQ上选一处M建码头，向A、B转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路每千米费用均为a万元，求修建两条公路总费用的最低价为多少？

分析如图5-12所示，曲线PQ符合抛物线的定义，可得其方程为y2=4x，本题即求|MA|+|MB|的最小值，由抛物线定义知|MA|=|MN|，∴|MA|+|MB|=|MN|+|MB|≥|BN|.

当且仅当B、M、N三点共线时取最小值.

3.改变曲线和系数

pagenumber_ebook=133,pagenumber_book=124

图5-12

如图5-13所示，A村在B地正北处，C村与B地相距4km，且在B地的正东方向.已知公路PQ上任一点到B、C的距离之和都为8km.现在要在公路旁建造一个变电房M，分别向A村，C村送电，但C村有一村办工厂，用电须用专用线路，因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电.要使得所用电线最短，变电房M应建在A村的什么方位？并求出M到A村的距离.

pagenumber_ebook=133,pagenumber_book=124

图5-13

解由题意知，|MC|+|MB|=8＞4=|BC|，故点M在以B，C为焦点的椭圆上.依题意要求|MA|+2|MC|的最小值.

pagenumber_ebook=134,pagenumber_book=125

图5-14

如图5-14，建立平面直角坐标系xOy，则B（-2，0），），所以点M的轨迹方程为.过M作MN⊥l于N，由椭圆的第二定义可知|MN|=2|MC|，则即求|MA|+|MN|的最小值，由平面几何知识可知，当M、A、N共线时，|MA|+|MN|最小.所以，即变电房应建在A村的正东方向且距A村.

案例5-2中可以看到，对于同一个问题可以用不同方法去探索，这些方法涉及到很多的数学分科领域，有方程判别式法，有函数单调性求导法，也有三角换元法，有基本不等式求最值，也有从式子结构特征出发，用柯西不等式法构造求解，也有构造直线与曲线解法的，甚至涉及到跨学科光的折射定律.可见，数学问题诸多解法于思维其实是相通的，关键是我们如何去发现、挖掘和利用.

案例5-2是对最值进行系统总结，对拓展学生的视野，提升数学解题能力是十分有益的.其中三角函数的最值问题也是高中数学重要的题型，设元变换法和数形结合法较为典型，无形之中也对常规的三角变换技巧以及数形结合的思想作了很好地回顾与总结.

高中数学核心素养：理解数学建模

相关推荐