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2023-08-17
高中数学核心素养详解
【摘要】：通过图形的表征与变换，理解图形的特征、简化运算过程、将“数”与“形”的问题自由转化，都体现了直观想象核心素养在数学问题解决过程中关键能力的作用.【案例4-15】构造几何模型，破解思维瓶颈问题：设点P是函数的图像上的任意一点，点Q（2a，a-3），（a∈R），则|PQ|的最小值为__________.解：函数的图像是以C（1，0）为圆心，半径等于2的圆在x轴以下的半圆，含点（-1，0）、（3，0）.
通过图形的表征与变换，理解图形的特征、简化运算过程、将“数”与“形”的问题自由转化，都体现了直观想象核心素养在数学问题解决过程中关键能力的作用.
【案例4-15】构造几何模型，破解思维瓶颈
问题：设点P是函数
的图像上的任意一点，点Q（2a，a-3），（a∈R），则|PQ|的最小值为__________.
解：函数
的图像是以C（1，0）为圆心，半径等于2的圆在x轴以下的半圆，含点（-1，0）、（3，0）.点Q（2a，a-3）（a∈R）为直线l：x-2y-6=0上的动点，所以，|PQ|的最小值等于圆心C（1，0）到直线l：x-2y-6=0的距离d减去圆的半径r，即d-r=
图4-32
变式：已知a=3c，bd=-3，求（a-b）2+（d-c）2的最小值.
解：根据题意，点A（a，c）是直线y=3x上的动点，点B（b，d）是曲线
上的动点，所以（a-b）2+（d-c）2=|AB|2，如图4-32所示，将直线y=3x平移，假设与曲线
相切于点B0，过B0作直线y=3x的垂线，设垂足为A0，则|AB|2的最小值等于|A0B0|2，即点B0到直线y=3x的距离（点线距离）的平方.设B0（x0，y0），由y=-
，得
解得B0（1，-3）或B0（-1，3）.
从案例4_15中可以看出，数形结合是基本的数学思想方法，面对某些“代数”问题，如果直接去解，运算难度大，甚至难以得到结果，这时，我们会尝试挖掘问题的几何背景，构造恰当的几何模型，然后借助几何模型思考，通常可以破解思维的瓶颈，克服运算的障碍，化难为易，使问题顺利得到有效解决.
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