直观想象从思维角度看，就是通过建构数学问题的直观模型，在观察、分析直观模型的基础上，对事物的空间形式，特别是图形进行进一步的想象，把握其位置关系、形态变化与运动规律.【案例4-13】利用几何直观形成论证思路问题1：设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x-1）.若对任意x∈（-∞，m]，都有，则m的取值范围是__________.图4-29分......
2023-08-17
高中数学核心素养-考查直观想象能力
【摘要】：直观想象在数学核心素养体系中具有重要的地位，与其他数学学科核心素养密不可分.在复杂情境中发现问题、解决问题，通常需要先通过直观想象对问题进行分析、探寻问题实质，再通过数学抽象、数学建模将其转化为数学问题.在复杂的逻辑推理或数学运算中，也需要运用直观想象来理清思路、简化运算；在大数据分析时，有时也要借助图表使数据更加直观.【案例4-14】把数学问题直观化、图形化问题：在平面四边形ABCD中，∠ADC
直观想象在数学核心素养体系中具有重要的地位，与其他数学学科核心素养密不可分.在复杂情境中发现问题、解决问题，通常需要先通过直观想象对问题进行分析、探寻问题实质，再通过数学抽象、数学建模将其转化为数学问题.在复杂的逻辑推理或数学运算中，也需要运用直观想象来理清思路、简化运算；在大数据分析时，有时也要借助图表使数据更加直观.
【案例4-14】把数学问题直观化、图形化
问题：在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若
，求BC.
分析此题是解三角形中比较常见的题型，命题思路非常清晰，主要考查正弦定理及余弦定理.第（1）问在△ABD中，已知一个角与两边的长，求另一边的对角，很显然，直接运用正弦定理求解；第（2）问在△CBD中增加已知两边，借助第（1）问可求夹角，于是可以直接用余弦定理求解.
在△CBD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5
所以BC=5.
解法2 如图4-31所示，过点B分别作BG⊥AD于点G，BF⊥CD于点F，
（1）因为AB=2，∠A=45°，所以
.
图4-31
（2）因为∠ADC=90°，BG⊥AD，BF⊥CD，所以四边形BGDF是矩形.
比较两种方法可见，构造等腰直角三角形可增加解题的直观性，减少运算量，45°和90°的条件设置至关重要.显然，如果命题者去掉45°特殊角的设置，就限制了学生只能用高中知识求解，排斥了学生充分运用几何直观解决几何问题.解法1直接运用正弦定理，虽然思路简洁，但是对运算有一定要求，学生易算错；运用解法2作辅助线构造等腰直角三角形这一基本图形，即可借助几何直观轻松得解.
从案例4_14中可以看到在解题教学中，不妨多思考、多观察，培养运用几何直观理解问题的意识和能力，对提高学生的解题能力大有裨益.
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