为方便起见，取a=10，则问题转化为：是否存在m、n＞0，使lg（m+n）=lgm·lgn成立？......
2023-08-17
提升高中数学核心素养：图形计算器辅助直观想象
【摘要】：图形计算器作为研究数学问题的一个工具，能够在学生开展数学学习的过程中提供一定的辅助作用.尤其是它在通过函数图像研究函数性质、解析几何的问题研究方面，能通过直观而动态的变化，方便学生更好地理解问题的本质.【案例4-10】用TI图形计算器解一道解析几何压轴题问题：已知椭圆=1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0）
图形计算器作为研究数学问题的一个工具，能够在学生开展数学学习的过程中提供一定的辅助作用.尤其是它在通过函数图像研究函数性质、解析几何的问题研究方面，能通过直观而动态的变化，方便学生更好地理解问题的本质.
【案例4-10】用TI图形计算器解一道解析几何压轴题
问题：已知椭圆
=1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0），斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k1=1时，求S△AOB的值；
（3）设R（1，0），延长AR、BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2.求证：
为定值.
利用TI的解决方案：
（1）如图4-19所示，利用解方程组功能解出a，b，考虑到a＞0，b＞0，得a=3
，所以椭圆Γ的方程为
图4-19
（2）接着，在页面1.2中作椭圆
，直线y=x+2，并交椭圆于A、B两点，构造三角形OAB，并测量面积为3.03，如图4-20所示.
图4-20
实际操作非常简单，但是，这样做的结果并不是一个精确值，于是，我们尝试求出AB的长度以及O点到AB的距离，再进行计算.回到页面1.1，通过解方程组将两个交点A、B的坐标解出来，再计算出AB的长度为
，如图4-21所示.
图4-21
下面我们作O到AB的距离，先过O点作AB的垂线得到垂足C，测量OC距离得1.41.再计算面积得3.02143，如图4-22所示.
图4-22
图4-23
对比发现，这仍然不是一个精确值，问题在于OC的距离，为了能得到更精确的值，我们试着通过求直线方程来解决.因为直线OC与直线AB垂直并且过原点，所以直线OC的方程为y=-x，接着求两直线的交点，即解方程组得C点坐标为（-1，1），这样OC距离为
就显而易见了.再计算面积得
，这样我们终于得到了一个精确值，如图4-23所示.
图4-24
（3）在页面1.3作椭圆
，取点F、点R.在椭圆上取动点与点F连接构成直线交椭圆于A、B两点，连接AR延长交椭圆于点C，连接BR延长交椭圆于点D，连接直线CD.分别测量直线AB和CD的斜率记为k1和k2，计算k1与k2的比值，拖动椭圆上的动点改变两条直线的斜率，发现随着动点在椭圆上移动，两条直线的斜率会有变化，但比值不变，始终是0.571，如图4-24所示.虽然它仍然是一个近似值，不过我们得到了一个直观的认识，就是这个比值不会因为k1的变化而变化，它始终是一个定值，如图4-25所示.
图4-25
更进一步，也可以参照常规解法，利用图形计算器的解方程功能将k1和k2用x1，y1、x2，y2表示，最终得到比值为一个定值.
从案例4-10中可以看出，信息技术在教学中的优势主要表现在：快捷的计算功能、丰富的图形呈现与制作功能、大量数据的处理功能；提供交互式的学习和研究环境等方面.因此，在教学中，应重视数学教学与现代信息技术的有机结合，恰当地使用现代信息技术，发挥现代信息技术的优势，帮助学生更好地认识和理解数学，增强学生对数学学习的兴趣，同时也提高几何直观和空间想象的能力.
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